贵州省遵义市2024届高三第三次质量监测数学试卷

试卷更新日期：2024-05-07 类型：高考模拟

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 已知复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 2 i$ ，则复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $- 1 + i$ C、 $- 1 - i$ D、 $1 - i$

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2. 集合 $A = {x \in N ∣ x^{2} - x - 12 \leq 0}$ ， $B = {- 1, 1, 2, 3, 4, 5}$ ，求 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0, 1, 3, 4, 5}$ B、 ${1, 2, 3, 4, 5}$ C、 ${1, 2, 3, 4}$ D、 ${- 1, 0, 2, 3, 4}$

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3. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $A D = 4$ ， M是 $B C$ 中点，且 $\vec{D N} = 2 \vec{N C}$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 的值为（）

A、32 B、24 C、16 D、8

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4. $(1 - 2 x^{3}) (1 + x)^{5}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为（）

A、8 B、12 C、10 D、15

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5. 在第29个世界读书日活动到来之际，遵义市某高中学校为了了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，样本的平均数为4，方差为5；乙同学抽取一个容量为8的样本，样本的平均数为7，方差为10；将甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，则合在一起后的样本方差是（结果精确到0.01）（）

A、5.34 B、6.78 C、9.44 D、11.46

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6. 在 $△ABC$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， D为 $A C$ 的中点，已知 $c = 2$ ， $B D = \frac{\sqrt{7}}{2}$ ，且 $a c o s B + b c o s A = - 2 c c o s B$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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7. 已知点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 作倾斜角为 $\frac{π}{6}$ 的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A ， B两点，且 $| F_{2} B | = | F_{2} A |$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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8. 设 $a = t a n 0.01$ ， $b = l n 1.01$ ， $c = \frac{1}{101}$ ，则下列关系正确的是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $c < b < a$

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二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）

9. 下列函数中，既是奇函数，又在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = x^{3} + x$ B、 $f (x) = t a n x$ C、 $f (x) = e^{x} - e^{- x}$ D、 $f (x) = x s i n x$

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10. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件A ， B存在如下关系： $P (A | B) = \frac{P (A) P (B | A)}{P (B)}$ .现有甲、乙、丙三台车床加工同一件零件，甲车床加工的次品率为 $8 %$ ，乙车床加工的次品率 $6 %$ ，丙车床加工的次品率为 $5 %$ ，加工出来的零件混放在一起，且甲、乙、丙3台车床加工的零件数分别占总数的 $30 %$ ， $40 %$ ， $30 %$ ，设事件 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ 分别表示取到的零件来自甲、乙、丙车床，事件B表示任取一个零件为次品，则下列说法正确的是（）

A、 $P (A_{2} B) = 0.024$ B、 $P (B | A_{3}) = 0.015$ C、 $P (B) = 0.063$ D、 $P (A_{1} | B) = \frac{8}{21}$

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11. 关于函数 $f (x) = 2 s i n | x | + | s i n x |$ ，有以下四个结论，其中正确的有（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ 上为减函数 C、方程 $x f (x) - 1 = 0$ 的所有根之和为0 D、若函数 $f (ω x) (ω > 0)$ 在 $[0, 2 π]$ 上有且仅有5个零点，则 $ω \in [2, \frac{5}{2})$

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）

12. 已知 $f (x) = x l n (x + 3)$ ，则 $f (x)$ 在 $(- 2, 0)$ 处的切线方程是．

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13. 如图，是南京博物馆展示的一件名为“陶三棱锥”的文物，该文物的出土，为研究吴越文化提供了重要价值，博物馆准备为该文物制作一个透明的球形玻璃外罩进行保护供游客观赏研究，经测量该文物的所有棱长都为 $\sqrt{6}$ 分米，则制作的球形玻璃外罩（玻璃外罩厚度忽略不计）的直径至少为分米．

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14. 已知点P是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上除顶点外的任意一点，过点P向圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 引两条切线 $P M$ ， $P N$ ，设切点分别是M ， N ，若直线 $M N$ 分别与x轴，y轴交于A ， B两点，则 $△ A O B$ 面积的最小值是．

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四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ，且点 $(a_{n + 1}, S_{n})$ 在直线 $x - y - 2 = 0 (n \in N^{*})$ 上．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = (- 1)^{n} \frac{l o g_{2} a_{2 n - 1}}{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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16. “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，某校为了了解学生对“一带一路”的了解情况，从学校所有学生中随机抽取100名学生进行知识竞赛，满分100分，同学们竞赛成绩分布统计表如下：
成绩
$[40, 50)$
$[50, 60)$
$[60, 70)$
$[70, 80)$
$[80, 90)$
$[90, 100]$
人数
6
8
32
34
12
8

(1)、求这100名学生知识竞赛成绩的平均数和第 $70 %$ 分位数（结果精确到0.1，同组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)、为了加大对“一带一路”的宣传，提高学生对“一带一路”的知晓度，现按分层抽样的方式在成绩为 $[80, 100]$ 的同学中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽到的学生中成绩在 $[80, 90)$ 的人数为X ，求X的分布列和数学期望．

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17. 如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为正方形， $C F // D E$ ，且 $A B = C F = \frac{1}{2} D E$ ， M为 $A B$ 中点．

(1)、过M作平面 $α$ ，使得平面 $α$ 与平面 $B E F$ 的平行（只需作图，无需证明）

(2)、试确定（1）中的平面 $α$ 与线段 $E D$ 的交点所在的位置；

(3)、若 $D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，在线段 $B C$ 是否存在点P，使得二面角 $B - F E - P$ 的平面角为余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，若存在求出 $\frac{B P}{P C}$ 的值，若不存在，请说明理由．

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18. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P是椭圆C上的动点， $| P F_{1} | | P F_{2} |$ 的最大值为8，当 $∠ P F_{2} F_{1} = 90 °$ 时， $| P F_{2} | = \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、点 $A (2, \sqrt{2})$ ，若点M ， N在椭圆C上，且直线 $A M$ ， $A N$ 的斜率乘积为 $\frac{1}{2}$ ，线段 $M N$ 的中点G ，当直线 $M N$ 与y轴的截距为负数时，求 $∠ A O G$ 的余弦值．

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19. 英国数学家泰勒（B.Taylor，1685—1731）发现了：当函数 $f (x)$ 在定义域内n阶可导，则有如下公式： $f (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{1}{n!} f^{(n)} (0) x^{n} = f (0) + f^{'} (0) x + \frac{1}{2!} f^{″} (0) x^{2} + \frac{1}{3!} f^{'''} (0) x^{3} + \dots + \frac{1}{n!} f^{(n)} (0) x^{n} + \dots$ 以上公式称为函数 $f (x)$ 的泰勒展开式，简称为泰勒公式．其中， $n! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \dots \times n$ ， $f^{(n)} (x)$ 表示 $f (x)$ 的n阶导数，即 $f (x)$ 连续求n次导数．根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：

(1)、写出 $e^{x}$ 的泰勒展开式（至少有5项）；

(2)、设 $f (x) = e^{x} + e^{- x} - 1 - a x^{2}$ ，若 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极小值点，求实数a的取值范围；

(3)、若 $e^{8} \approx 100 k$ ， k为正整数，求k的值．

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成绩	$[40, 50)$	$[50, 60)$	$[60, 70)$	$[70, 80)$	$[80, 90)$	$[90, 100]$
人数	6	8	32	34	12	8