浙江省湖州市行知中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷

试卷更新日期：2024-04-11 类型：月考试卷

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一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 一个物体的位移 $s$ (米)与时间 $t$ (秒)的关系式为 $s = 2 + 10 t - t^{2}$ ，则该物体在3秒末位移的瞬时变化率是（）

A、6米/秒 B、5米/秒 C、4米/秒 D、3米/秒

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2. 下列求导运算正确的是（）

A、 ${(x^{- 2})}^{'} = x^{- 3}$ B、 ${(x \sin x)}^{'} = \sin x + x \cos x$ C、 ${(e^{2 x})}^{'} = e^{2 x}$ D、 ${(\cos \frac{π}{3})}^{'} = - \sin \frac{π}{3}$

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3. 阅读课上，5名同学分别从3种不同的书中选择一种进行阅读，不同的选法种数是（）

A、50 B、60 C、125 D、243

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4. 函数 $f (x) = x - 2 ln (2 x)$ 的单调递减区间为（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(2, + \infty)$

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5. 如图是函数 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象，则下面判断正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(- 3, 1)$ 上是增函数 B、 $f (x)$ 在 $(1, 2)$ 上是减函数 C、 $f (x)$ 在 $[- 3, 4]$ 上的最大值是 $f (1)$ D、当 $x = 4$ 时， $f (x)$ 取得极小值

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6. 某校三位同学报名参加数理化生四科学科竞赛，每人限报且必须报两门，由于数学是该校优势科目，必须至少有两人参赛，若要求每门学科都有人报名，则不同的参赛方案有（）

A、51种 B、45种 C、48种 D、42种

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7. 过直线 $y = x - 1$ 上一点 $P$ 可以作曲线 $f (x) = x - ln x$ 的两条切线，则点 $P$ 横坐标 $t$ 的取值范围为（）

A、 $0 < t < 1$ B、 $1 < t < e$ C、 $0 < t < e$ D、 $\frac{1}{e} < t < 1$

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8. 已知函数 $f (x) = x \ln x$ ， $g (x) = x e^{x}$ ，若存在 $t > 0$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2}) = t$ 成立，则 $x_{1} - 2 x_{2}$ 的最小值为（）

A、 $2 - ln 4$ B、 $2 + ln 4$ C、 $e - ln 2$ D、 $e + ln 2$

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二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）

9. 下列各式中与排列数 $A_{n}^{m}$ 相等的是（　　）

A、 $\frac{n!}{(n - m)!}$ B、 $n (n - 1) (n - 2) \dots (n - m)$ C、 $\frac{n A_{n - 1}^{m}}{n - m + 1}$ D、 $A_{n}^{1} A_{n - 1}^{m - 1}$

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10. 已知函数 $f (x) = \sin x + x^{3} - a x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、若 $f (x)$ 为增函数，则 $a \leq 1$ C、当 $a = - 3$ 时，函数 $f (x)$ 恰有两个零点 D、当 $a = 3$ 时，函数 $f (x)$ 恰有1个极值点

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11. 已知 $e$ 是自然对数的底数，函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，且 $\frac{f (x)}{x} + \ln x \cdot f^{'} (x) > 0$ ，则（）

A、 $f (\frac{1}{e}) + f (e) > 0$ B、 $f (\frac{1}{e}) < 0$ C、 $f (e) > 0$ D、 $f (1) = 0$

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）

12. 若 $x$ 满足关系式 $C_{15}^{3 x - 2} = C_{15}^{x + 1}$ ，则 $x =$ ．

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13. 若函数 $f (x) = x {(x + a)}^{2}$ 在 $x = 1$ 处有极大值，则实数 $a$ 的值为.

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14. 甲、乙、丙3人从1楼上了同一部电梯，已知 $3$ 人都在 $2$ 至 $6$ 层的某一层出电梯，且在每一层最多只有两人同时出电梯，从同一层出电梯的两人不区分出电梯的顺序，则甲、乙、丙 $3$ 人出电梯的不同方法总数是．

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四、解答题（本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15. “从7名男生和5名女生中选出5人，分别求符合下列条件的选法数(所得结果用数值表示)．

(1)、 $A, B$ 必须被选出；

(2)、至少有3名女生被选出．

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16. 设函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 8$ ．

(1)、求f（x）在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、求f（x）在[－2，4]上的最大值和最小值．

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17. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + a x + b}{e^{x}} (x \in R)$ 的一个极值点是 $x = 2$ ．
（Ⅰ）当 $a = 1$ 时，求b的值，并求 $f (x)$ 的单调增区间；
（Ⅱ）设 $a > 0$ ，若 $x \in [0, 3]$ ，使得 $f (x) < \frac{9}{e^{2}}$ 成立，求实数a的范围．

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18. 已知函数 $f (x) = a \ln x + \frac{1}{x} + 4$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、对任意 $x \in [1, e]$ ，不等式 $f (x) \geq \frac{1}{x} + {(x + 1)}^{2}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 定义一种新运算“ $\oplus$ ”： $x \oplus y = \ln (e^{x} + e^{y})$ ， $x, y \in R$ ，这种运算有许多优美的性质：如 $x \oplus y = y \oplus x$ ， $(x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z)$ 等．已知函数 $f (x) = 2 e^{x} - a ((x - 1) \oplus (x - 1))$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (1)$ 的值；

(2)、设 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，若 $k e^{x_{1} + x_{2}} < \frac{a^{2}}{4}$ 恒成立，求正实数 $k$ 的取值范围．

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