贵州省毕节市2024届高三第三次诊断性考试数学试题

试卷更新日期：2024-05-21 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 若复数z满足 $(1 + i^{2} + i^{5}) \cdot z = 3 i^{2024} - 4 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、5 C、7 D、25

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2. 随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (3, σ^{2})$ ，若 $P (3 < ξ \leq 3.5) = 0.34$ ，则 $P (ξ > 3.5) =$ （）

A、0.66 B、0.34 C、0.17 D、0.16

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3. 已知点 $(1, 2)$ 在抛物线 $C : y = 2 p x^{2} (p > 0)$ 上，则抛物线C的准线方程为（）

A、 $x = - \frac{1}{2}$ B、 $x = - \frac{1}{8}$ C、 $y = - \frac{1}{2}$ D、 $y = - \frac{1}{8}$

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4. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - a}{e^{x} + a}$ 是奇函数，若 $f (2023) > f (2024)$ ，则实数a的值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $\pm 1$ D、0

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5. 某学生的QQ密码是由前两位是大写字母，第三位是小写字母，后六位是数字共九个符号组成．该生在登录QQ时，忘记了密码的最后一位数字，如果该生记住密码的最后一位是奇数，则不超过两次就输对密码的概率为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $A = \frac{2 π}{3}$ ，若点D满足 $\vec{A D} \cdot \vec{A B} = 0$ ，且 $\vec{A D} = \frac{4}{5} \vec{A C} + \frac{1}{5} \vec{A B}$ ，则 $\frac{b}{c} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{1}{4}$ D、4

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7. 在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4 \sqrt{2}, A_{1} B_{1} = 3 \sqrt{2}, A A_{1} = \sqrt{2}$ ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A、 $100 π$ B、 $128 π$ C、 $144 π$ D、 $192 π$

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8. 已知函数 $f (x)$ 的图象在x轴上方，对 $\forall x \in R$ ，都有 $f (x + 2) \cdot f (x) = 2 f (1)$ ，若 $y = f (x - 1)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，且 $f (0) = 1$ ，则 $f (2023) + f (2024) + f (2025) =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列说法中正确的有（）

A、已知 $a, b \in R$ ，则“ $a > b$ ”的必要不充分条件是“ $a > b + 1$ ” B、函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 5}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ 的最小值为2 C、集合A ， B是实数集R的子集，若 $A ⊆ B$ ，则 $A ∩$ $∁_{R}$ B $= \emptyset$ . D、若集合 $B = {x ∣ x^{2} - 2 x - 3 = 0}$ ，则满足 $\emptyset$ ⫋ $A$ ⫋ $B$ 的集合A有2个

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10. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{4} = 4 S_{2}, a_{2 n} = 2 a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ ，则（）

A、 $a_{n} = 2 n - 1$ B、 $S_{n} = n^{2}$ C、数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前n项和为 $\frac{2 n}{2 n + 1}$ D、数列 ${a_{n} + 2^{n}}$ 的前n项和为 $2^{n + 1} + n^{2} - 2$

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11. 函数 $f (x) = {\begin{cases} - x^{2} + 2 x, & x \geq 0, \\ x^{2} + 2 x, & x < 0, \end{cases}$ $g (x) = a f (x) + b$ 下列关于函数 $g (x)$ 的叙述正确的是（）

A、 $\exists b \in R$ ，使得 $g (x)$ 的图象关于原点对称 B、若 $a = - 1, - 1 < b < 0$ ，则方程 $g (x) = 0$ 有大于2的实根 C、若 $0 < a \leq 1, b = 1$ ，则方程 $g (x) = 0$ 至少有两个实根 D、若 $a \geq 1 ， b < 1$ ，则方程 $g (x) = 0$ 有三个实根

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (\frac{π}{3} - 2 ω x) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴方程为．

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13. 已知直线 $l_{1} : x + t y - 5 = 0$ ，直线 $l_{2} : t x - y - 3 t + 2 = 0$ ， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交于点A ，则点A的轨迹方程为．

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14. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P是线段 $B C_{1}$ 上的一个动点，记异面直线DP与 $A_{1} B_{1}$ 所成角为 $θ$ ，则 $s i n θ$ 的最小值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 2023年12月30日8时13分，长征二号丙/远征一号S运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术试验卫星送入预定轨道由中国航天科技集团有限公司研制的运载火箭48次宇航任务全部取得圆满成功．也代表着中国航天2023年完美收官某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机从本市大学生和高中生中抽取一个容量为 $n$ 的样本，根据调查结果得到如下列联表：
学生群体
关注度
合计
关注
不关注
大学生
$\frac{3 n}{10}$

$\frac{2 n}{5}$
高中生

合计
$\frac{3 n}{5}$

(1)、完成上述列联表；依据小概率值 $α = 0 ． 05$ 的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关联，求样本容量n的最小值；

(2)、用频率估计概率，从本市大学生和高中生中随机选取3人，用X表示不关注的人数，求X的分布列和数学期望．
附：
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
$χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

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16. （1）证明：当 $\frac{π}{2} < x < π$ 时， $\frac{\cos x}{\sin x} < \frac{π}{2} - x < \cos x$ ；
（2）已知函数 $f (x) = 2 a x - \tan x$ 在 $x \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上有两个极值点，求实数a的取值范围．

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是平行四边形， $P D = P C = B D = \frac{1}{2} A D = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ .点E，F分别在DC和DP上，且 $D E = \frac{1}{3} D C$ ， $D F = \frac{1}{3} D P, B F = \sqrt{10} E F$ ，点M是BP的中点，点N在BC上， $D N ⊥ B E$ .

(1)、证明：平面 $P D C ⊥$ 平面ABCD；

(2)、证明： $M N / /$ 平面BEF；

(3)、求平面FMN与平面ABCD所成角的正弦值.

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18. 在平面直角坐标系 $x o y$ 中，O为坐标原点， $A (- 1, 0), B (1, 0)$ ，动点P满足 $k_{P A} \cdot k_{P B} = 3$ ，设点P的轨迹为曲线 $Γ$ ．

(1)、求曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、过点 $C (1, 1)$ 的直线l与曲线 $Γ$ 在y轴右侧交于不同的两点M ， N ，在线段MN上取异于点M ， N的点D ，满足 $| C M | \cdot | D N | = | M D | \cdot | C N |$ ．证明：点D在定直线上．

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19. 在无穷数列 ${a_{n}}$ 中，若对任意的 $n \in N^{*}$ ，都存在 $m \in N^{*}$ ，使得 $a_{n} + a_{n + 2 m} = 2 a_{n + m}$ ，则称 ${a_{n}}$ 为m阶等差数列.在正项无穷数列 ${b_{n}}$ 中，若对任意的 $n \in N^{*}$ ，都存在 $m \in N^{*}$ ，使得 $b_{n} b_{n + 2 m} = {(b_{n + m})}^{2}$ ，则称 ${b_{n}}$ 为m阶等比数列．

(1)、若数列 ${b_{n}}$ 为1阶等比数列， $b_{1} + b_{2} + b_{3} = \frac{7}{2}$ ， $b_{3} + b_{4} + b_{5} = \frac{7}{8}$ ，求 ${b_{n}}$ 的通项公式及前n项的和；

(2)、若数列 ${l n c_{n}}$ 为m阶等差数列，求证： ${c_{n}}$ 为m阶等比数列；

(3)、若数列 ${l n c_{n}}$ 既是m阶等差数列，又是 $m + 1$ 阶等差数列，证明： ${c_{n}}$ 是等比数列．

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学生群体	关注度		合计
学生群体	关注	不关注	合计
大学生	$\frac{3 n}{10}$		$\frac{2 n}{5}$
高中生
合计	$\frac{3 n}{5}$

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828