有理数简便运算方法(4)—裂项与换元—人教版数学七（上）知识点训练-在线组卷题库

1. 阅读下列内容，然后解答问题：

因为： $\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2} ， \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ， \frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \dots \frac{1}{9 \times 10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10}$

所以： $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{9 \times 10}$

$= (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10})$

$= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{9} - \frac{1}{10}$

$= 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$

问题：计算：

(1)、

\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2015 \times 2016} + \frac{1}{2016 \times 2017}

(2)、

\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7}

(3)、

\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \dots + \frac{1}{2015 \times 2017}

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2. 已知1-

\frac{1}{2}

=

\frac{1}{2}

，

\frac{1}{2}

-

\frac{1}{3}

=

\frac{1}{6}

，

\frac{1}{3}

-

\frac{1}{4}

=

\frac{1}{12}

，

\frac{1}{4}

-

\frac{1}{5}

=

\frac{1}{20}

………根据这些等式求值。请你仔细观察，并找出其奥妙，再计算：

\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{49 \times 50}

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3. 观察下列计算

$\frac{1}{1 \times 2}$ =1﹣ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2 \times 3}$ = $\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3 \times 4}$ = $\frac{1}{3}$ - $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{4 \times 5}$ = $\frac{1}{4}$ ﹣ $\frac{1}{5}$ …

(1)、第5个式子是；第n个式子是.

(2)、从计算结果中找规律，利用规律计算.

$\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3}$ + $\frac{1}{3 \times 4} \frac{1}{4 \times 5}$ +…+ $\frac{1}{2009 \times 2010}$

(3)、计算

$\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7}$ +…+ $\frac{1}{(2 n - 1) \times (2 n + 1)}$

(4)、计算

$\frac{1}{1 \times 4} + \frac{1}{4 \times 7}$ + $\frac{1}{7 \times 10}$ +…+ $\frac{1}{28 \times 31}$

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4. 用简单方法计算下列各题。

① $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5}$ ② $\frac{1}{1 \times 6} + \frac{1}{6 \times 11} + \frac{1}{11 \times 16} + \frac{1}{16 \times 21}$

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5. 观察下列等式

$\frac{1}{1 \times 2}$ =1- $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2 \times 3}$ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3 \times 4}$ = $\frac{1}{3}$ - $\frac{1}{4}$ ，

将以上三个等式两边分别相加得： $\frac{1}{1 \times 2}$ + $\frac{1}{2 \times 3}$ + $\frac{1}{3 \times 4}$ =1- $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3}$ - $\frac{1}{4}$ =1- $\frac{1}{4}$ = $\frac{3}{4}$ ．

(1)、猜想并写出：

\frac{1}{n (n + 1)}

的结果．

(2)、直接写出下列各式的计算结果：

① $\frac{1}{1 \times 2}$ + $\frac{1}{2 \times 3}$ + $\frac{1}{3 \times 4}$ +…+ $\frac{1}{9 \times 10}$ ．

② $\frac{1}{1 \times 2}$ + $\frac{1}{2 \times 3}$ + $\frac{1}{3 \times 4}$ +…+ $\frac{1}{2006 \times 2007}$ ．

(3)、探究并计算：

\frac{1}{2 \times 4}

+

\frac{1}{4 \times 6}

+

\frac{1}{6 \times 8}

+…+

\frac{1}{2006 \times 2008}

．

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6. 计算：

(1)、

\frac{5}{6} + \frac{23}{24} + \frac{59}{60} + \frac{83}{84} + \frac{119}{120} + \frac{209}{210}

(2)、

(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + . . . + \frac{1}{2019} - \frac{1}{2020}) \div (\frac{1}{1011} + \frac{1}{1012} + \frac{1}{1013} + . . . + \frac{1}{2020})

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7. 阅读下列材料：

① $\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ $⋯$

② $\frac{1}{1 \times 3} = \frac{1}{2} \times (1 - \frac{1}{3})$ ， $\frac{1}{3 \times 5} = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$ ， $\frac{1}{5 \times 7} = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{5} - \frac{1}{7})$ $⋯$

③ $\frac{1}{1 \times 4} = \frac{1}{3} \times (1 - \frac{1}{4})$ ， $\frac{1}{4 \times 7} = \frac{1}{3} \times (\frac{1}{4} - \frac{1}{7})$ ， $\frac{1}{7 \times 10} = \frac{1}{3} \times (\frac{1}{7} - \frac{1}{10})$ $⋯$

(1)、写出①组中的第6个等式：，第n个等式：；

(2)、写出②组的第n个等式：；

(3)、利用由①②③组中你发现的等式规律计算：

$\frac{2}{1 \times 5} + \frac{2}{5 \times 9} + \frac{2}{9 \times 13} + ⋯ + \frac{2}{405 \times 401}$ ．

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8. 请先阅读下列一组内容，然后解答问题：

因为： $\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ， $\dots$ ， $\frac{1}{9 \times 10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10}$ ，

所以： $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{9 \times 10}$ ，

$= (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10})$ ，

$= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{9} - \frac{1}{10}$ ，

$= 1 - \frac{1}{10}$ ，

$= \frac{9}{10}$ ．

计算：

(1)、

\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2004 \times 2005}

；

(2)、

\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \dots + \frac{1}{49 \times 51}

；

(3)、

\frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} + \frac{1}{56}

．

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9. 阅读理解：计算

(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}) - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}) (\frac{1}{2} + \frac{1}{3})

时，

若把分别 $(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) 与 (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4})$ 看作一个整体，再利用乘法分配律进行计算，可以大大简化

难度，过程如下：

解：令 $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = x$ ， $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = y$ ，

则原式=. $(1 + x) y - (1 + y) x = y + x y - x - x y = y - x = \frac{1}{4}$

(1)、上述过程使用了什么数学方法？；体现了什么数学思想？；

（填一个即可）

(2)、用上述方法计算：

① $(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}) (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}) - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}) (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4})$ ；

② $(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n - 1}) (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{n}) - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}) (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \dots + \frac{1}{n - 1})$ ；

③计算： $\frac{1 \times 2 \times 3 + 2 \times 4 \times 6 + 3 \times 6 \times 9 + 4 \times 8 \times 12 + 5 \times 10 \times 15}{1 \times 3 \times 5 + 2 \times 6 \times 10 + 3 \times 9 \times 15 + 4 \times 12 \times 20 + 5 \times 15 \times 25}$ .

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10. （阅读材料）

在进行计算或化简时，可以根据题目特点，将一个分数或分式变成两部分之差，如： $\frac{2}{3} = \frac{3 - 1}{3} = 1 - \frac{1}{3}$ ； $\frac{1}{6} = \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ； $\frac{1}{15} = \frac{1}{3 \times 5} = \frac{1}{2} (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$ 等.

（问题解决）

利用上述材料中的方法，解决下列问题：

(1)、求

\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \dots + \frac{1}{342} + \frac{1}{380}

的值；

(2)、求

\frac{1}{4} + \frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{40} + \dots + \frac{1}{2 (n - 1) n} + \frac{1}{2 n (n + 1)}

的值.

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11. 请先阅读下列一组内容，然后解答问题：

因为： $\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ，…， $\frac{1}{9 \times 10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10}$

所以： $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + ... + \frac{1}{9 \times 10}$

= $(1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + ... + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10})$

= $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{9} - \frac{1}{10}$

= $1 - \frac{1}{10}$ = $\frac{9}{10}$

问题：

计算：

(1)、

\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + ... + \frac{1}{2004 \times 2005}

；

(2)、

\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + ... + \frac{1}{49 \times 51}

．

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有理数简便运算方法(4)—裂项与换元—人教版数学七（上）知识点训练

一、计算题