有理数简便运算方法(4)—裂项与换元—北师大版数学七（上）知识点训练

试卷更新日期：2024-10-27 类型：复习试卷

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一、计算题

1. 计算题．

(1)、 $522 \div 522 \frac{522}{523} + 526 \div 527 \frac{3}{523}$

(2)、 $\frac{1 \frac{2}{3} + 2 \frac{3}{4} + 3 \frac{4}{5} + \dots + 97 \frac{98}{99} + 98 \frac{99}{100}}{5 + 8 \frac{1}{4} + 11 \frac{2}{5} + \dots + 293 \frac{96}{99} + 296 \frac{97}{100}}$

(3)、 $\frac{5}{6} - \frac{7}{12} + \frac{9}{20} - \frac{11}{30} + \frac{13}{42} - \frac{15}{56} + \dots + \frac{41}{420} - \frac{43}{462}$

(4)、 $\frac{(2 \frac{38}{45} - \frac{1}{15}) \div 13 \frac{8}{9} + 3 \frac{3}{65} \times \frac{26}{99}}{(18.5 - 13 \frac{7}{9}) \times \frac{1}{85}}$

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2. 怎样简便怎样算

(1)、 $2021 \times 20222022 - 2022 \times 20212021$ ；

(2)、 $1 \frac{1}{2} + 2 \frac{1}{4} + 3 \frac{1}{8} + 4 \frac{1}{16} + 5 \frac{1}{32} + 6 \frac{1}{64}$

(3)、 $\frac{2015 + 2016 \times 2014}{2016 \times 2015 - 1}$

(4)、 $(\frac{9}{20} - \frac{11}{30} + \frac{13}{42} - \frac{15}{56} + \frac{17}{72}) \times \frac{121212}{131313}$

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3. 简便计算：

(1)、 $\frac{1^{2} + 2^{2}}{1 \times 2} + \frac{2^{2} + 3^{2}}{2 \times 3} + \frac{3^{2} + 4^{2}}{3 \times 4} + \dots + \frac{2022^{2} + 2023^{2}}{2022 \times 2023}$ ；

(2)、 $(\frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12}) \times (\frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13}) - (\frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13}) \times (\frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12})$ ．

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4. 计算： $\frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{4 \times 6} + \frac{1}{6 \times 8} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2022 \times 2024}$ ．

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5. 计算：

(1)、 $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2004 \times 2005}$ ；

(2)、 $\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \dots + \frac{1}{49 \times 51}$ ；

(3)、 $\frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} + \frac{1}{56}$ ．

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6. ①计算： $1 \frac{20}{387} \div 1 \frac{10}{693} \times 10 \frac{47}{77}$
②计算： $\frac{1}{2} + \frac{5}{6} + \frac{11}{12} + \frac{19}{20} + \dots \dots + \frac{109}{110}$
③计算： $\frac{10^{2} - 9^{2} + 8^{2} - 7^{2} + 6^{2} - 5^{2} + 4^{2} - 3^{2} + 2^{2} - 1^{2}}{10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1}$
④计算： $\frac{x - 1}{4} + 1 = \frac{2 x + 1}{6}$
⑤计算： $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{3}{4} + \dots \dots + \frac{1}{100} + \frac{2}{100} + \dots + \frac{100}{101}$

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7. 观察下列等式： $\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} ．$ 将以上三个等式两边分别相加，得 $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ ．

(1)、猜想并写出： $\frac{1}{n \times (n + 1)} =$ ______．

(2)、已知 $|a - 2|$ 与 ${(b - 1)}^{2}$ 互为相反数，试求： $\frac{1}{a b} + \frac{1}{(a + 1) (b + 1)} + \frac{1}{(a + 2) (b + 2)} + \dots \dots + \frac{1}{(a + 2022) (b + 2022)}$ 的值．

(3)、探究并计算： $\frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{4 \times 6} + \frac{1}{6 \times 8} + \dots \dots + \frac{1}{2020 \times 2022}$ ．

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8. 不进行通分，计算：
$(1 + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \frac{1}{14}) \times (\frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15}) - (1 + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15}) \times (\frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \frac{1}{14})$ ．

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9. 请先阅读下列一段内容，然后解答问题：
因为： $\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ，…… ， $\frac{1}{9 \times 10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10}$ ，

所以： $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{9 \times 10}$

$= (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10})$

$= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{9} - \frac{1}{10} = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$

计算：

(1)、 $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2007 \times 2008}$ ；

(2)、 $\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \dots + \frac{1}{49 \times 51}$ .

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10. 观察 $\frac{1}{1 \times 2}$ + $\frac{1}{2 \times 3}$ =（1－ $\frac{1}{2}$ ）+（ $\frac{1}{2}$ － $\frac{1}{3}$ ）=1－ $\frac{1}{3}$ = $\frac{2}{3}$

(1)、计算： $\frac{1}{1 \times 2}$ + $\frac{1}{2 \times 3}$ + $\frac{1}{3 \times 4}$ +……+ $\frac{1}{2013 \times 2014}$

(2)、计算： $\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \dots \dots + \frac{1}{99 \times 101}$

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11. 观察 $\frac{1}{1 \times 2}$ + $\frac{1}{2 \times 3}$ =（1－ $\frac{1}{2}$ ）+（ $\frac{1}{2}$ － $\frac{1}{3}$ ）=1－ $\frac{1}{3}$ = $\frac{2}{3}$

(1)、计算： $\frac{1}{1 \times 2}$ + $\frac{1}{2 \times 3}$ + $\frac{1}{3 \times 4}$ +……+ $\frac{1}{2013 \times 2014}$ =

(2)、计算： $\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \dots \dots + \frac{1}{99 \times 101}$

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12. 观察下列计算： $\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{4 \times 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$ ，……，从计算结果中找规律，利用规律计算

(1)、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \dots \dots + \frac{1}{9900}$

(2)、 $\frac{1}{3} + \frac{1}{15} + \frac{1}{35} + \frac{1}{63} + \dots \dots + \frac{1}{9999}$

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13. 观察下列等式： $\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2} ， \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ， \frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ 将以上三个等式的两边分别相加得 $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

(1)、猜想并写出 $\frac{1}{2020 \times 2021}$ ＝（不必写出计算结果）

(2)、直接写出下列各式的计算结果：① $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + ⋯ + \frac{1}{2019 \times 2020}$ = ▲ ；
② $\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + ⋯ + \frac{1}{199 \times 201} =$ ▲ ；

(3)、填空： $\frac{3}{1 \times 4} + \frac{3}{4 \times 7} + \frac{3}{7 \times 10} + ⋯ + \frac{3}{2020 \times 2023}$ = ．

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