勾股定理的规律型问题—北师大版数学八（上）知识点训练

试卷更新日期：2024-10-27 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 《九章算术》提供了许多组勾股数，如 $(3, 4, 5)$ ， $(5, 12, 13)$ ， $(7, 24, 25)$ 等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”.后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数.由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”.根据以上规律，“由10生成的勾股数”的“弦数”为（）

A、26 B、101 C、13 D、24

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2. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为1，其面积标记为 $S_{1}$ ，以 $C D$ 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 $S_{2}$ ， …，按照此规律继续下去，则 $S_{8}$ 的值为（）

A、 ${(\frac{1}{2})}^{6}$ B、 ${(\frac{1}{2})}^{7}$ C、 ${(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{6}$ D、 ${(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{7}$

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3. “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为（）

A、126 B、127 C、128 D、129

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二、填空题

4. 附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律：
①3，4，5；
②5，12，13；
③7，24，25；
④9，40，41；…
请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：．

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5. 如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成， $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则 $S_{1} - S_{2} + S_{3} - S_{4}$ 的值为

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6. 图1是第七届国际数学教育大会（JCME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点 $O$ 的直角三角形演化而成的．若图2中的 $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = A_{3} A_{4} = \dots = 1$ ，按此规律继续演化，则 $△ O A_{9} A_{10}$ 的面积为．

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7. 勾股定理 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解 $(a ， b ， c)$ 常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组： $(3 ， 4 ， 5)$ ， $(5 ， 12 ， 13)$ ， $(7 ， 24 ， 25)$ ，…，分析上面勾股数组可以发现， $4 = 1 \times (3 + 1)$ ， $12 = 2 \times (5 + 1)$ ， $24 = 3 \times (7 + 1)$ ，…分析上面规律，第6个勾股数组为．

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8. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA₁A₂的直角边OA₁在y轴的正半轴上，且OA₁= A₁A₂=1.以OA₂为直角边作第二个等腰直角三角形OA₂A₃ ，以OA₃为直角边作第三个等腰直角三角形OA₃A₄……依次规律得到等腰直角三角形OA₂₀₁₅A₂₀₁₆ ，则点A₂₀₁₅的坐标为.

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9. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．如图所示，是一棵由正方形和含 $30 °$ 角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树的主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为 $S_{1}$ ，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为 $S_{2}$ ，…，第 $n$ 个正方形和第 $n$ 个直角三角形的面积之和为 $S_{n}$ ．
设第一个正方形的边长为1．

请解答下列问题：

(1)、 $S_{1} =$ ．

(2)、通过探究，用含 $n$ 的代数式表示 $S_{n}$ ，则 $S_{n} =$ ．

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10. 如图，在直线 $l$ 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 、 $S_{4}$ ，则 $S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4} =$ .

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11. 如图， $O P = 1$ ，过P作 $P P_{1} ⊥ O P$ 且 $P P_{1} = 1$ ，由勾股定理得 $O P_{1} = \sqrt{2}$ ；再过P作 $P_{1} P_{2} ⊥ O P_{1}$ 且 $P_{1} P_{2} = 1$ ，得 $O P_{2} = \sqrt{3}$ ；又过 $P_{2}$ 作 $P_{2} P_{3} ⊥ O P_{2}$ 且 $P_{2} P_{3} = 1$ ，得 $O P_{3} = 2$ ；…依次类推，得 $O P_{2020} =$ ．

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12. 如图，四边形 $A B C D$ 是边长为1的正方形，以对角线 $A C$ 为边作第二个正方形 $A C E F$ ，再以对角线 $A E$ 为边作第三个正方形 $A E G H$ ，如此进行下去……，记正方形 $A B C D$ 的边长为 $a_{1} = 1$ ，按上述方法所作的正方形的边长依次为 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ ， …， $a_{n}$ ，则 $a_{2021} =$ .

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三、解答题

13. 当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且 $3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$ ，所以3，4，5是勾股数.观察下列各勾股数有哪些规律；
3，4，5；
9，40，41；
5，12，13；
……；
7，24，25；
$a$ ， $b$ ， $c$ .

(1)、当 $a = 11$ 时，求 $b$ ， $c$ 的值

(2)、判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由.

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14. 规律探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题.
$O {A_{2}}^{2} = (\sqrt{1})^{2} + 1 = 2$ ； $S_{1} = \frac{\sqrt{1}}{2}$ （ $S_{1}$ 是 $△ O A_{1} A_{2}$ 的面积）；
$O {A_{3}}^{2} = (\sqrt{2})^{2} + 1 = 3$ ； $S_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ （ $S_{2}$ 是 $△ O A_{2} A_{3}$ 的面积）；
$O {A_{4}}^{2} = (\sqrt{3})^{2} + 1 = 4$ ； $S_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ （ $S_{3}$ 是 $△ O A_{3} A_{4}$ 的面积）；
…

(1)、请用含有 $n$ （ $n$ 为正整数）的等式 $S_{n} =$ .

(2)、推算出 $O A_{10} =$ .

(3)、求出 $\frac{1}{S_{1} + S_{2}} + \frac{1}{S_{2} + S_{3}} + \frac{1}{S_{3} + S_{4}} + \frac{1}{S_{4} + S_{5}}$ 的值.

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3，4，5；		9，40，41；
5，12，13；		……；
7，24，25；		$a$ ， $b$ ， $c$ .