利用勾股定理求面积—北师大版数学八（上）知识点训练

试卷更新日期：2024-10-27 类型：复习试卷

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一、基础夯实

1. 以直角三角形的三边为边做正方形，三个正方形的面积如图，正方形A的面积为（）

A、6 B、36 C、64 D、8

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2. 图中字母所代表的正方形面积为175的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角形斜边上的两顶点旋转得到图2，则图2中阴影部分面积等于（）

A、直角三角形的面积 B、最小正方形的面积 C、较小两个正方形重叠部分的面积 D、最大正方形与直角三角形的面积和

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ．分别以 $A C 、 B C 、 A D 、 B D$ 为边向外作正方形，得到较大的三个正方形的面积分别为 $15 、 30 、 38$ ，那么最小的正方形面积为（）

A、5 B、6 C、7 D、 $7.5$

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5. 如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积依次为6、10、7，则正方形D的面积为（　　）

A、11 B、16 C、17 D、23

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6. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，若 $A B = 17$ ，则正方形 $A E D C$ 和正方形 $B C G F$ 的面积之和为（）

A、 $225$ B、 $289$ C、 $324$ D、 $170$

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7. 在直线上依次摆着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4}$ ，则 $S_{1} + S_{2} - S_{3} - S_{4} =$ ．

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8. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为4、3、9，则正方形A的面积为．

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9. 如图，△ABC中AB＝BC＝5，AC＝6，点O是∠ABC、∠ACB平分线的交点，过点O作OD⊥BC于点D，且OD＝1.5，则△ABC的面积为．

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10. 如图，四个三角形纸片Rt△ABC，Rt△AB₁C₁ ， Rt△AB₂C₂ ， Rt△AB₃C₃完全重合，并按图示位置摆放.已知BC＝ $\sqrt{10}$ ， AB＝1，求四边形CC₁C₂C₃的面积.

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二、能力提升

11. 勾股定理是初中数学最重要的定理之一，如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在最大正方形内．记四边形 $A B C D$ 的面积为 $S_{1}$ ，四边形 $D C E I$ 的面积为 $S_{2}$ ，四边形 $C E F G$ 的面积为 $S_{3} ， △ E H I$ 的面积为 $S_{4}$ ．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）

A、 $S_{1}$ B、 $S_{2}$ C、 $S_{3}$ D、 $S_{4}$

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12. 如图，直线上有三个正方形 $a ， c ， b$ ，若 $a ， b$ 的面积分别为 4和 25，则 $c$ 的面积为（）

A、20 B、26 C、29 D、32

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13. 如图1，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．如图2，如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为 $a$ ， $b$ ，且 $a^{2} + b^{2} = a b + 10$ ，那么图中小正方形的面积是（）

图1 图2

A、2 B、3 C、4 D、5

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中，边 $A B$ 的垂直平分线分别交 $A B$ ， $B C$ 于点 $M$ ， $E$ ，边 $A C$ 的垂直平分线分别交 $A C$ ， BC于点N ， F ， $△ A E F$ 的周长为9.若 $∠ B + ∠ C = 4 5^{∘}$ ， $E F = 4$ ，则 $△ A E F$ 的面积为（）

A、 $\frac{9}{4}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、5 D、 $\frac{5}{2}$

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15. 问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．
操作发现：小颖在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A，她借助此图求出了△ABC的面积．

(1)、在图1中，小颖所画的△ABC的三边长分别是AB= ， BC= ， AC=；△ABC的面积为．
解决问题：

(2)、已知△ABC中，AB= $\sqrt{10}$ ，BC=2 $\sqrt{5}$ ，AC=5 $\sqrt{2}$ ，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出△ABC，并直接写出△ABC的面积．

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三、拓展创新

16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BDMC，记四块阴影部分的面积分别为 $S_{1}^{}$ 、 $S_{2}^{}$ 、 $S_{3}^{}$ 、 $S_{4}^{}$ .若已知 $S_{Δ A B C}^{} = S$ ，则下列结论：① $S_{4}^{} = S$ ；② $S_{2}^{} = S$ ；③ $S_{1}^{} + S_{3}^{} = S_{2}^{}$ ；④ $S_{1}^{} + S_{2}^{} + S_{3}^{} + S_{4}^{} = 2.5 S$ ，
其中正确的结论是（）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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17. 如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成， $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则 $S_{1} - S_{2} + S_{3} - S_{4}$ 的值为

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18. 我们定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．

(1)、如图1，在△ABC中，AB=BC，且BC≠AC，请你在图1中作出△ABC的一条“等分积周线”；

(2)、在图1中，过点C能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由．

(3)、如图2，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，EF垂直平分AD，垂足为F，交BC于点E，已知AB=4，BC=10，CD=6．求证：直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”；

(4)、如图3，在△ABC中，AB=BC=7cm，AC=10cm，请你不过△ABC的顶点，画出△ABC的一条“等分积周线”，并说明理由．

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