利用勾股定理求线段长度—北师大版数学八（上）知识点训练

试卷更新日期：2024-10-27 类型：复习试卷

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一、基础夯实

1. 在 $R t Δ A B C$ 中，有两边的长分别为1和2，则第三边的长（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{3}$ 或 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{3}$ 或 $\sqrt{5}$

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2. 如图，在直角△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长为 $($ 　 $)$

A、6 B、5 C、4 D、3

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3. 如图，正方形ABCD的面积为15，Rt△BCE的斜边CE的长为8，则BE的长为（）

A、17 B、10 C、6 D、7

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4. 如图，在 $3 \times 3$ 的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点 $A ， B ， C ， D$ 均为格点，以 $A$ 为圆心， $A B$ 长为半径作弧，交网格线 $C D$ 于点 $E$ ，则 $C ， E$ 两点间的距离为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $3 - \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ D、 $\sqrt{3} - \frac{1}{2}$

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5. 如图，在三角形纸片 $A B C$ 中， $∠ C = 90 °, A C = 6$ ，折叠该纸片，使点C落在 $A B$ 边上的点 $D$ 处，折痕 $B E$ 与 $A C$ 交于点 $E$ ，若 $A D = B D$ ，则折痕 $B E$ 的长为（）

A、3 B、4 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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6. 如图，是一张直角三角形的纸片，两直角边 $A C = 6, B C = 8$ ，现将 $△ A B C$ 折叠，使点B点A重合，折痕为DE，则BD的长为（）

A、7 B、 $\frac{25}{4}$ C、6 D、 $\frac{11}{2}$

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7. 一等腰三角形的底边长是12，腰长为10，则底边上的高是（）

A、15 B、13 C、10 D、8

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8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，分别以点A、B为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ AB长为半径作弧，两弧分别交于M、N两点，过M、N两点的直线交AC于点E，若AC=6，BC=3，则CE的长为（）

A、 $\frac{9}{4}$ B、 $\frac{11}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线， $A D = 3$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、6 B、5 C、10 D、8

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10. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为（　　）

A、1cm B、 $\frac{4}{3}$ cm C、 $\frac{5}{3}$ cm D、2cm

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11. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E.求AE的长.

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12. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A D$ 为 $∠ B A C$ 的角平分线， $C D = 6 c m ， B D = 10 c m$ ，求 $A C$ 的长．

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13. 直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将 $△ A B C$ 如图折叠，使点A和点B重合，则折痕DE的长是（）

A、3 B、3.5 C、3.75 D、4

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二、能力提升

14. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ MN长为半径画弧，两弧交点O，作射线AO，交BC于点E.已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（　　）

A、8 B、7 C、6 D、5

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ， $D$ 为 $B C$ 上一点，将 $△ A C D$ 沿 $A D$ 折叠，使点 $C$ 恰好落在 $A B$ 边上，则折痕 $A D$ 的长是（　　）

A、5 B、 $\sqrt{34}$ C、 $3 \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{61}$

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16. 如图，在 $R t △ A B C$ 和 $R t △ B D E$ 中， $∠ A B C = ∠ B D E = 90 °$ ，点 $A$ 在边 $D E$ 的中点上，若 $A B = B C$ ， $D B = D E = 2$ ，连结 $C E$ ，则 $C E$ 的长为．

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17. 如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $B C = 6$ ， O是 $△ A B C$ 外一点，O到三边的垂线段分别为 $O D$ ， $O E$ ， $O F$ ，且 $O D : O E : O F = 1 : 4 : 4$ ，则 $A O$ 的长度为（）

A、7 B、5 C、 $\frac{160}{17}$ D、 $\frac{80}{17}$

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18. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上的一动点(不包含A，B两端点)，沿CD折叠，点A落在点A'处，A'C与AB相交于点E若A'D∥BC，则A'E的长为。

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19. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，AB=4，点P是线段AD上的动点，连接BP，CP，若△BPC周长的最小值为16，则BC的长为.

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20. 如图所示的正方体木块的棱长为3cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②所示的几何体，一只蚂蚁沿着图②中的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为cm．

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21. 如图，在△ABC中，已知AD是BC边上的高，过点B作BE⊥AC于点E ，交AD于点F ，且AD＝ $6 \sqrt{5}$ ， BD＝ $2 \sqrt{5}$ ， CD＝ $3 \sqrt{5}$ ．

(1)、求BE的长；

(2)、求证：AF＝BC；

(3)、如图2，在（2）的条件下，在ED的延长线上取一点G ，使BG＝BE ，请猜想DG与DE的数量关系，并说明理由．

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三、拓展创新

22. 如图，C为线段 $B D$ 上一动点，分别过B，D作 $A B ⊥ B D$ ， $E D ⊥ B D$ ，连接 $A C$ ， $E C$ ，已知 $A B = 5$ ， $D E = 1$ ， $B D = 8$ ，设 $C D = x$ .请用含x的代数式表示 $A C + C E$ 的长为，根据上述方法，求出 $\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{{(12 - x)}^{2} + 9}$ 的最小值为.

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23. [阅读理解]
如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝7，过点A作直线BC的垂线，垂足为D，求线段AD的长.

解：设BD＝x，则CD＝7﹣x.

∵AD⊥BC，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°.

在Rt△ABD中，AD²＝AB²﹣BD² ，

在Rt△ACD中，AD²＝AC²﹣CD² ，

∴AB²﹣BD²＝AC²﹣CD².

又∵AB＝4，AC＝6，

∴4²﹣x²＝6²﹣（7﹣x）².

解得x＝ $\frac{29}{14}$ ，

∴BD＝ $\frac{29}{14}$ .

∴AD＝ $\sqrt{A B^{2} - B D^{2}}$ ＝ $\frac{3 \sqrt{255}}{14}$ .

[知识迁移]

(1)、在△ABC中，AB＝13，AC＝15，过点A作直线BC的垂线，垂足为D.
i）如图1，若BC＝14，求线段AD的长；

ii）若AD＝12，求线段BC的长.

(2)、如图2，在△ABC中，AB＝ $\frac{25}{4} \sqrt{5}$ ，AC＝ $\frac{5 \sqrt{29}}{2}$ ，过点A作直线BC的垂线，交线段BC于点D，将△ABD沿直线AB翻折后得到对应的△ $A B D^{'}$ ，连接CD′，若AD＝ $\frac{25}{2}$ ，求线段 $C D^{'}$ 的长.

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