“赵爽弦图”模型—北师大版数学八（上）知识点训练-在线组卷题库

1. 由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”．图中正方形 $A B C D$ 的面积是10， $A H = 3$ ，则正方形 $E F G H$ 的面积是（）

A、4 B、5 C、6 D、8

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2. 赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形 $A B C D$ ，中间是一个小正方形 $E F G H$ ，连接 $D E$ ，并延长交 $B C$ 于点 $I$ ，若 $H$ 是 $A E$ 的中点， $A B = 5$ ，则 $E I$ 的长（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\sqrt{5}$

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3. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为10，短直角边为6，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（　　）

A、48 B、64 C、96 D、112

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4. 勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形 $A B C D$ ，正方形 $E F G H$ ，正方形 $M N X T$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ．若正方形 $E F G H$ 的边长为2，则 $S_{1} + S_{2} + S_{3} =$ ．

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5. 教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c² ，也可以表示为4× $\frac{1}{2}$ ab+(a-b)²由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a²+b²=c² .

(1)、图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理.

(2)、如图③，直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，则斜边AB上的高CD的长为多少?

(3)、试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）=a²+3ab+2b² ，画在如图4的网格中，并标出字母a、b所表示的线段.

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6. 【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为 $a$ ，较小的直角边长都为 $b$ ，斜边长都为 $c$ ），大正方形的面积可以表示为 $c^{2}$ ，也可以表示为 $4 \times \frac{1}{2} a b + {(a - b)}^{2}$ ，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为 $a, b$ ，斜边长为 $c$ ，则 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ．

(1)、图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，下面是利用图②推导勾股定理的过程，完成填空；
解：梯形 $A B C D$ 的面积可表示为： ▲ ，
也可以表示为： ▲ ，
$∴ \frac{1}{2} a b + \frac{1}{2} a b + \frac{1}{2} c^{2} = \frac{1}{2} a^{2} + a b + \frac{1}{2} b^{2}$ ，
$∴ \frac{1}{2} a^{2} + a b + \frac{1}{2} b^{2} = a b + \frac{1}{2} c^{2}$ ，
$∴$ ▲
即 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ；

(2)、【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 $C$ ，河边原有两个取水点 $A 、 B$ ， $A B = A C$ ，由于某种原因，由 $C$ 到 $A$ 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 $H$ （ $A 、 H$ 、 $B$ 在同一条直线上），并新修一条路 $C H$ ，且 $C H ⊥ A B$ ．测得 $C H = 0.8$ 千米， $H B = 0.6$ 千米，求新路 $C H$ 比原路CA少多少千米？

(3)、【迁移应用】小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若 $A B \neq A C$ 时， $C H ⊥ A B$ ， $A C = 10$ ， $B C = 17$ ， $A B = 21$ ，设 $A H = x$ ，可以求 $C H$ 的值，请帮小明写出求 $C H$ 详细完整的过程．

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“赵爽弦图”模型—北师大版数学八（上）知识点训练

一、选择题

二、填空题

三、作图题