勾股树模型—北师大版数学八（上）知识点训练

试卷更新日期：2024-10-27 类型：复习试卷

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一、选择题

  • 1. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为16cm，则正方形A ， B ， C ， D的面积之和为（ ）cm2 ．

    A、16 B、256 C、32 D、64

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  • 2.  有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2024次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（    ）

    A、2025 B、2024 C、22023 D、22024−1

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  • 3. 如图，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形N的边长为定值n ， 小正方形B ， C的边长分别为b ， c ． 已知∠1=∠2=∠3=α ， 当角α(0°<α<90°)变化时，则b与c满足的关系式是（    ）

     

    A、b+c=n B、b2+c2=n2 C、bc=n D、bc=n2

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二、填空题

  • 4. 如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，S1 ， S2 ， S3 ， S4分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则S1−S2+S3−S4的值为

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  • 5. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则正方形E的边长是 ．

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  • 6. “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名.假设如图所示的分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为.

             

    第一代勾股树　第二代勾股树　第三代勾股树

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  • 7. 如图所示，正方形ABCD的边长为1，其面积标记为 S1,以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 S2,…，按照此规律继续下去，则 S2024的值为.

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  • 8. 如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为  ．

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三、解答题

  • 9. 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．

    (1)、①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为S1 ， S2 ， S3 ， 利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有________个．

    ②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1 ， S2 ， 直角三角形面积为S3 ， 也满足S1+S2=S3吗？若满足，请证明；若不满足，请求出S1 ， S2 ， S3的数量关系．

    (2)、如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则a2+b2+c2+d2=__________．

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