勾股定理—北师大版数学八（上）知识点训练

试卷更新日期：2024-10-27 类型：复习试卷

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一、勾股定理

1. 阅读：勾股定理是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．用数学语言表达为： $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ，根据阅读资料，完成以下题目：在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $a = 5$ ， $b = 12$ ，则 $c =$ （）

A、5 B、12 C、17 D、13

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2. 若一直角三角形两直角边长分别为5和12，则斜边长为（）

A、13 B、 $\sqrt{119}$ C、13或15 D、15

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3. 若△ABC中，AB=25cm，AC=26cm，高AD=24，则BC的长为（）

A、17 B、3 C、17或3 D、以上都不对

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4. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A ， B ， C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D ，则CD的长为（）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\sqrt{5}$ C、2.2 D、3 $- \sqrt{5}$

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5. 如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为.

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6. 如图，A，B，C是三个正方形，当B的面积为144，C的面积为169时，则A的面积为．

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7. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形．

(1)、在图1中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；

(2)、在图2中，画一个正方形，使它的面积是5．

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8. 如图， $C A ∥ B D$ ， $C A ⊥ A B$ ， $A C = 5$ ， $B D = 3$ ， $A B = 8$ ， $E$ 是 $A B$ 上一动点，设 $A E = x$ ．

(1)、用 $x$ 表示 $C E$ ；

(2)、当 $x$ 为何值时， $C E = D E$ ；

(3)、代数式 $\sqrt{x^{2} + 25} + \sqrt{{(8 - x)}^{2} + 9}$ 是否有最小值，若有请求出最小值，若没有请说明理由

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9. 分析探索题：细心观察如图所示的图形，认真分析各式，然后解答问题．

      $O A_{2}^{2} = {(\sqrt{1})}^{2} + 1 = 2$ ， $S_{1} = \frac{\sqrt{1}}{2}$ ；

      $O A_{3}^{2} = {(\sqrt{2})}^{2} + 1 = 3$ ， $S_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ；

      $O A_{4}^{2} = {(\sqrt{3})}^{2} + 1 = 4$ ， $S_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} ⋯$

(1)、请用含n（n为正整数）的等式表示 $S_{n}$ ；

(2)、推算出 $O A_{10}$ 的值；

(3)、求出 $S_{1}^{2} + S_{2}^{2} + S_{3}^{2} + ⋯ + S_{10}^{2}$ 的值．

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10. 阅读材料，解决问题：
我们可以在网格纸中通过构造三角形的方法来比较无理数的大小，例如在图1中，正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，线段AB的长度为 $\sqrt{5}$ ，线段BC的长度为 $\sqrt{2}$ ，显然， $\sqrt{2} < \sqrt{5}$ ．

(1)、试比较 $\sqrt{2} + 1$ 与 $\sqrt{5}$ 的大小，并说明理由；

(2)、请在图2中尝试用构造图形的方法比较 $\sqrt{5} + 2 \sqrt{2}$ 与 $\sqrt{17}$ 的大小，在图3中尝试用构造图形的方法比较 $\sqrt{5} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{10}$ 与 $\sqrt{61}$ 的大小；

(3)、请运用以上的构图思想，在图4中构图，并求出 $\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{(10 - x)^{2} + 16}$ 的最小值．

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二、勾股定理的逆定理

11. 在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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12. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）

A、4，5，6 B、3，4，5 C、2，3，4 D、1，2，3

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13. 下列条件：① $b^{2} = c^{2} - a^{2}$ ；② $∠ C = ∠ A - ∠ B$ ；③ $a ： b ： c = \frac{1}{3} ： \frac{1}{4} ： \frac{1}{5}$ ；④ $∠ A ： ∠ B ： ∠ C = 3 ： 4 ： 5$ ，能判定 $△ A B C$ 是直角三角形的有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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14. 若一个三角形的三边满足 $c^{2} - a^{2} = b^{2}$ ，则这个三角形是。

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15. 如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC=12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC、DB ，且CD＝4，BD=3.

(1)、求BC的长；

(2)、求证：△BCD是直角三角形．

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16. 阅读理解，在平面直角坐标系中，P₁(x₁ ， y₁)，P₂(x₂ ， y₂)，如何求P₁P₂的距离．
如图1，作Rt△P₁P₂Q，在Rt△P₁P₂Q中， ${| P_{1} P_{2} |}^{2}$ ＝ ${| P_{1} Q |}^{2}$ ＋ ${| P_{2} Q |}^{2}$ ＝ ${(x_{2} － x_{1})}^{2} + {(y_{2} － y_{1})}^{2}$ ，所以 $| P_{1} P_{2} |$ ＝ $\sqrt{{(x_{2} － x_{1})}^{2} + {(y_{2} － y_{1})}^{2}}$ ．因此，我们得到平面上两点P₁(x₁ ， y₁)，P₂(x₂ ， y₂)之间的距离公式为 $| P_{1} P_{2} |$ ＝ $\sqrt{{(x_{2} － x_{1})}^{2} + {(y_{2} － y_{1})}^{2}}$ ．
根据上面得到的公式，解决下列问题：

(1)、已知平面两点A(－3，4)，B(5，10)，求AB的距离；

(2)、若平面内三点A(－2，2)，B(5，－2)，C(1，4)，试判断△ABC的形状，说明理由；

(3)、如图2，在有对称美的正方形AOBC中，A(－4，3)，点D在OA边上，且D(－1， $\frac{3}{4}$ )，直线l经过O，C两点，点E是直线l上的一个动点，求DE＋EA的最小值．

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三、勾股数

17. 判断下列几组数中，一定是勾股数的是（　　）

A、1， $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ B、8，15，17 C、7，14，15 D、 $\frac{3}{5}$ ， $\frac{4}{5}$ ， 1

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18. 有一组勾股数，其中的两个分别是8和17，则第三个数是

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19. 阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为： ${\begin{matrix} a = \frac{1}{2} (m^{2} - n^{2}) \\ b = m n \\ c = \frac{1}{2} (m^{2} + n^{2}) \end{matrix}$ 其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．
应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．

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四、勾股定理的证明

20. 我国汉代的赵爽在注释《周髀算经》时给出了勾股定理的无字证明，人们称它为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”指的是（）

A、 B、 C、 D、

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21. 下面图形能够验证勾股定理的有（　　）个

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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22. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是把图1放入长方形内得到的， $∠ B A C = 90^{\circ}$ ，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为．

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23. 问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．

(1)、如图①，是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式：______；

(2)、如图②，是由两块全等的直角三角形拼接成的梯形，点B、E、C在同一条直线上，请根据图②证明勾股定理．

(3)、如图③，如果以 $Rt △ A B C$ 的三边长a，b，c为直径向外作半圆，半圆的面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ，试猜想 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 之间存在的等量关系______；并说明理由．

(4)、如图④，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，三边分别为5、12、13，分别以它的三边为直径向上作半圆，求图④中阴影部分的面积．

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24. 如图， $E$ 为 $A C$ 上一点， $A C ⊥ B C$ ， $A C ⊥ A D$ ， $A B = D E$ ， $A B$ ， $D E$ 交于点 $F$ ，且 $A B ⊥ D E$ .

(1)、判断线段 $B C$ ， $D A$ ， $C E$ 的数量关系，并说明理由；

(2)、连接 $B D$ ， $B E$ ，若设 $B C = a$ ， $A C = b$ ， $A B = c$ ，利用此图证明勾股定理.

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25. 数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．

(1)、如图 $1$ ，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积．
方法 $1$ ： $S_{大正方形} =$ ；方法 $2$ ： $S_{大正方形} =$ ；根据以上信息，可以得到的等式是；

(2)、如图 $2$ ，大正方形是由四个边长分别为 $a ， b ， c$ 的直角三角形（ $c$ 为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到 $a ， b ， c$ 之间的数量关系；

(3)、在（ $2$ ）的条件下，若 $a = 3 ， b = 4$ ，求斜边 $c$ 的值．

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