一元二次方程根与系数的关系——北师大版数学九年级上册知识点训练-在线组卷题库

1. 若 $m n \neq 1$ ，且 $5 m^{2} + 2023 m + 9 = 0 ， 9 n^{2} + 2023 n + 5 = 0$ ，则 $\frac{m}{n} =$ （）

A、 $\frac{9}{5}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $- \frac{2023}{5}$ D、 $- \frac{2023}{9}$

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2. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + (2 m + 1) x + m - 1 = 0$ 的两个根分别是 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且满足 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 3$ ，则m的值是（）

A、0 B、 $- 2$ C、0或 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 2$ 或0

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3. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 m x + 2 n = 0$ 有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程 $y^{2} + 2 n y + 2 m = 0$ 同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；② ${(m - 1)}^{2} + {(n - 1)}^{2} \geq 2$ ；③ $- 1 \leq 2 m - 2 n \leq 1$ ．其中正确结论的个数是（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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4. 已知 $m n \neq 1$ ，且 $2 m^{2} + 3 m + 4 = 0 ， 4 n^{2} + 3 n + 2 = 0$ ，则 $\frac{m n + m + 1}{n} =$ .

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5. 已知实数 $α$ ， $β$ 满足 $2 α^{2} + 5 α - 2 = 0$ ， $2 β^{2} - 5 β - 2 = 0$ ，且 $α β \neq 1$ ，且 $\frac{1}{β^{2}} + \frac{α}{β} - \frac{5}{2} α$ 的值为．

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6. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} + 2 = 0$ ．

(1)、若方程总有两个实数根，求 $m$ 的取值范围；

(2)、在（1）的条件下，若两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $x_{1} + x_{2} = x_{1} x_{2}$ ，求 $m$ 的值．

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7. 【综合与实践】
【问题情境】对于关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （a ， b ， c为常数，且 $a \neq 0$ ），求方程的根的实质是找到一个x的具体的值，代入之后等式成立．一般情况下，如果有两个不同的x的具体值都满足，这就说明这个方程有两个根，且两根与a ， b ， c之间具有一定的关系．
【操作判断】项目研究小组经过讨论得到两个结论：

(1)、当 $a + b + c = 0$ 时，则一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有一根是1．

(2)、当 $a + c = b$ 时，则一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有一根是－1．
请判断两个结论的真假，并说明原因．

(3)、【实践探究】项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决：
方程 ${(2023 x)}^{2} - 2022 \times 2024 x - 1 = 0$ 的较大的根为p ，方程 $x^{2} + 2023 x - 2024 = 0$ 的较小的根为q ，求 $p - q$ 的值．

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8. 阅读材料：
材料1：如图，是由四个长为 $a$ ，宽为 $b$ 的长方形拼摆而成的正方形，其中 $a > b > 0$ ，则根据图形可以得到等式 ${(a + b)}^{2} = {(a - b)}^{2} + 4 a b$ ．
材料2：若一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个根为 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ．
材料3：已知实数 $m, n$ 满足 $m^{2} - m - 1 = 0, n^{2} - n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，则 $m, n$ 是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个不相等的实数根．
根据上述材料解决以下问题：

(1)、材料理解：一元二次方程 $4 x^{2} - 8 x + 1 = 0$ 两个根为 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ ______， $x_{1} x_{2} =$ _____．

(2)、应用探究：一元二次方程 $4 x^{2} - 8 x + 1 = 0$ 两个根为 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $x_{1} - x_{2} =$ _______．

(3)、思维拓展：已知实数 $s 、 t$ 分别满足 $9 s^{2} + 9 s + 1 = 0$ ， $t^{2} + 9 t + 9 = 0$ ，其中 $s t \neq 1$ 且 $s t \neq 0$ ，求 $\frac{3 s t + 9 s + 3}{t}$ 的值．

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一元二次方程根与系数的关系——北师大版数学九年级上册知识点训练

一、选择题

二、填空题

三、计算题

四、解答题

五、实践探究题

六、阅读理解题