一元二次方程的概念及解法——北师大版数学九年级上册知识点训练

试卷更新日期：2024-10-25 类型：复习试卷

进入出卷网下载

一、选择题

1. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x - 4 = 0$ 的一个根是 $x = 1$ ，则代数式 $2027 - a - b$ 的值为（）

A、 $- 2023$ B、2023 C、 $- 2024$ D、2024

查看试题解析
2. 某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（）

A、 $y = 10 {(1 + x)}^{3}$ B、 $y = 10 + 10 (1 + x) + 10 {(1 + x)}^{2}$ C、 $y = 10 + 10 x + x^{2}$ D、 $y = 10 {(1 + x)}^{2}$

查看试题解析
3. 用配方法解方程 $x^{2} - 2 x = 2$ 时，配方后正确的是（）

A、 $(x + 1)^{2} = 3$ B、 $(x + 1)^{2} = 6$ C、 $(x - 1)^{2} = 3$ D、 $(x - 1)^{2} = 6$

查看试题解析
4. 若方程 $(m + 2) x^{| m |} + 3 m x + 1 = 0$ 是关于x的一元二次方程，则（）

A、 $m = \pm 2$ B、m=2 C、m=-2 D、 $m \neq \pm 2$

查看试题解析
5. 若m是方程 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的一个根，则 $6 m^{2} - 9 m + 2016$ 的值为（）

A、 $2016$ B、 $2017$ C、 $2018$ D、 $2019$

查看试题解析
6. 根据下表确定方程 $x^{2} - b x - 5 = 0$ 的解的取值范围是（）

$x$

$- 3$

$- 2$

$- 1$

$\dots$

$4$

$5$

$6$

$x^{2} - b x - 5$

$13$

$5$

$- 1$

$\dots$

$- 1$

$5$

$13$

A、 $- 2 < x < - 1$ 或 $4 < x < 5$ B、 $- 2 < x < - 1$ 或 $5 < x < 6$ C、 $- 3 < x < - 2$ 或 $5 < x < 6$ D、 $- 3 < x < - 2$ 或 $4 < x < 5$

查看试题解析
7. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - (m + 2) x - 3 m - 3 = 0$ 在 $- 2 \leq x \leq 2$ 范围内有且只有一个根，则m的取值范围为（）

A、 $m > - \frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5} < m \leq 5$ 或 $m = - 8 - 4 \sqrt{3}$ C、 $m < - \frac{3}{5}$ 或 $m \geq 5$ D、 $- \frac{3}{5} < m \leq 5$ 或 $m = - 8 + 4 \sqrt{3}$

查看试题解析
8. 已知实数 $a 、 b$ 满是 $a^{2} + a b + b^{2} = 1$ ，且 $t = a b - a^{2} - b^{2}$ ，则 $t$ 的取值范围是（）

A、 $- 3$ B、 $t \leq - \frac{1}{3}$ C、 $- 3 \leq t \leq - \frac{1}{3}$ D、 $- 3 \leq t < - \frac{1}{3}$

查看试题解析

二、填空题

9. 方程 $x^{2} = 6 x$ 的解为．

查看试题解析
10. 对于任意实数a、b，定义一种运算： $a \otimes b = a^{2} + b^{2} - a b$ ，若 $x \otimes (x - 1) = 3$ ，则x的值为.

查看试题解析
11. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(k - 1) x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 有两个实数根，则 $k$ 的取值范围是．

查看试题解析
12. 已知 $m n \neq 1$ ，且 $2 m^{2} + 3 m + 4 = 0 ， 4 n^{2} + 3 n + 2 = 0$ ，则 $\frac{m n + m + 1}{n} =$ .

查看试题解析

三、解答题

13. 已知关于 $x$ 的方程 $(m^{2} - 4) x^{2} + (m + 2) x + 3 m - 1 = 0$ ．

(1)、当 $m$ 为何值时，该方程是一元二次方程？

(2)、当 $m$ 为何值时，该方程是一元一次方程？

查看试题解析
14. 已知关于x的方程x²+ax+16=0，
（1）若这个方程有两个相等的实数根，求a的值
（2）若这个方程有一个根是2，求a的值及另外一个根

查看试题解析
15. 已知关于x的一元二次方程x²+2x﹣k＝0有两个实数根．

(1)、求k的取值范围；

(2)、若方程有一个根为2，求方程的另一根．

查看试题解析
16. 阅读与理解：如果关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程 $x^{2} + x = 0$ 的两个根是 $x_{1} = 0 ， x_{2} = - 1$ ，则方程 $x^{2} + x = 0$ 是“邻根方程”．

(1)、通过计算，判断方程 $x^{2} - 9 x + 20 = 0$ 是否是“邻根方程”；

(2)、已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (m - 1) x - m = 0$ （ $m$ 是常数）是“邻根方程”，求 $m$ 的值．

查看试题解析
17. 用适当的方法解下列方程：

(1)、 $x^{2} - 4 x - 5 = 0$ ；

(2)、 $(x - 1) (x + 2) = 2 (x + 2)$ ．

查看试题解析
18. 上数学课时，张老师在讲完因式分解 $(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 $x^{2} + 4 x + 5$ 的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解： $x^{2} + 4 x + 5 = x^{2} + 4 x + 4 + 1 = (x + 2)^{2} + 1$ ，
$∵ (x + 2)^{2} \geq 0$ ，
$∴ 当 x = - 2$ 时， $(x + 2)^{2}$ 的值最小，最小值是 $0$ ，
$∴ (x + 2)^{2} + 1 \geq 1$ ，
$∴ 当 (x + 2)^{2} = 0$ 时， $(x + 2)^{2} + 1$ 的值最小，最小值是 $1$ ，
$∴ x^{2} + 4 x + 5$ 的最小值是 $1$ ．
请你根据上述方法，解答下列各题

(1)、知识再现：当 $x =$ 时，代数式 $x^{2} - 6 x + 10$ 的最小值是；

(2)、知识运用：若 $y = - x^{2} + 2 x - 5$ ，当 $x =$ 时， $y$ 有最值 $($ 填“大”或“小” $)$ ，这个值是；

(3)、知识拓展：若 $- x^{2} + 3 x + y + 8 = 0$ ，求 $x + y$ 的最小值．

查看试题解析
19. 阅读下列材料：
方程 $x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 两边同时除以 $x (x \neq 0)$ ，得 $x + 3 - \frac{1}{x} = 0$ ，即 $x - \frac{1}{x} = - 3$ ．因为 ${(x - \frac{1}{x})}^{2} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2$ ，所以 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = {(x - \frac{1}{x})}^{2} + 2 = 11$ ．
根据以上材料解答下列问题：

(1)、已知方程 $x^{2} - 4 x - 1 = 0 (x \neq 0)$ ，则 $x - \frac{1}{x} =$ _____； $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} =$ _____．

(2)、若m是方程 $2 x^{2} - 7 x + 2 = 0$ 的根，求 $m^{2} + \frac{1}{m^{2}}$ 的值．

查看试题解析

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$\dots$	$4$	$5$	$6$
$x^{2} - b x - 5$	$13$	$5$	$- 1$	$\dots$	$- 1$	$5$	$13$