【培优版】浙教版数学八上3.4 一元一次不等式组同步练习

试卷更新日期：2024-10-24 类型：同步测试

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一、选择题

1. 对于任意实数p、q，定义一种运算：p@q＝p-q＋pq，例如2@3＝2-3＋2×3.请根据上述定义解决问题：若关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} 2 @ x < 4 \\ x @ 2 \geq m \end{array}$ 有3个整数解，则m的取值范围为是（）

A、-8≤m<-5 B、-8<m≤-5 C、-8≤m≤-5 D、-8<m<-5

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2. 若整数m使得关于x的方程 $\frac{m}{x - 1} = \frac{2}{1 - x} + 3$ 的解为非负整数，且关于y的不等式组 ${\begin{array}{l} 4 y - 1 < 3 (y + 3) \\ y - m ⩾ 0 \end{array}$ 至少有3个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（）

A、7 B、5 C、0 D、－2

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3. 关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{x - 2}{3} \geq x + 1 \\ x + 1 < m \end{array}$ 的解集为 $x \leq - \frac{5}{2}$ ，且关于y的分式方程 $\frac{2 m}{y - 2} + 2 = \frac{y - 4}{2 - y}$ 的解为正数，则所有满足条件的整数m的值之和为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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4. 已知关于x的不等式组 ${\begin{cases} x - \frac{3 x - 5}{2} ＜ 2 \\ 2 x - a \leq - 1 \end{cases}$ ，下列四个结论：
①若它的解集是1＜x≤3，则a＝7；
②当a＝3，不等式组无解；
③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是11≤a＜13；
④若它有解，则a＞3．
其中正确的结论个数（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 对于任意实数 $p$ 、 $q$ ，定义一种运算： $p$ @ $q = p + q - p q$ ，如： $2$ @ $3 = 2 + 3 - 2 \times 3$ ，请根据以上定义解决问题：若关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l} 2 @ x > 0 \\ x @ 3 ⩽ m \end{array}$ 有 $2$ 个整数解，则 $m$ 的取值范围为是( )

A、 $3 ⩽ m < 5$ B、 $3 < m ⩽ 5$ C、 $3 ⩽ m ⩽ 5$ D、 $3 < m < 5$

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6. 已知关于x的分式方程 $\frac{m x}{(x - 2) (x - 6)} + \frac{2}{x - 2} = \frac{3}{x - 6}$ 无解，且关于y的不等式组 ${\begin{array}{l} m - y > 4 \\ y - 4 \leq 3 (y + 4) \end{array}$ 有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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二、填空题

7. 若不等式组 $\{\begin{array}{l} x + a \geq 0 \\ 1 - 2 x ＞ x - 2 \end{array}$ ，若不等式组有解，则a的取值范围是，若不等式组刚好有两个整数解，则a的取值范围是．

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8. 若关于x的一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{x + 3}{2} \leq 4 \\ 2 x - a \geq 2 \end{array}$ ，至少有2个整数解，且关于y的分式方程 $\frac{a - 1}{y - 2} + \frac{4}{2 - y} = 2$ 有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是．

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9. 若不等式 $2 | x - 1 | + 3 | x - 3 | \leq a$ 有解，则实数 $a$ 最小值是．

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10. 已知 $a - b = m$ ，在关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 2 x - y = - 1 \\ x + 2 y = 5 a - 8 \end{array}$ 中， $x < 0$ ， $y > 0$ ，则 $a$ 的取值范围是， $2 | a + b - 3 + m | - 3 | m - 4 + a + b | =$ .

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三、解答题

11. 用1块 $A$ 型钢板可恰好制成2块 $C$ 型钢板和1块 $D$ 型钢板；用1块 $B$ 型钢板可恰好制成1块 $C$ 型钢板和3块 $D$ 型钢板．

(1)、若需14块 $C$ 型钢板和12块 $D$ 型钢板，则恰好用 $A$ 型钢板、 $B$ 型钢板各多少块？

(2)、现准备购买 $A$ 、 $B$ 型钢板共50块，并全部加工成 $C$ 、 $D$ 型钢板，要求 $C$ 型钢板不超过86块， $D$ 型钢板不超过90块，求 $A$ 、 $B$ 型钢板的购买方案共有多少种？

(3)、在（2）的条件下，若出售 $C$ 型钢板每块利润为100元， $D$ 型钢板每块利润为120元，则全部售出 $C$ 、 $D$ 型钢板可获得的最大利润为元．

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12. 使方程(组)与不等式(组)同时成立的未知数的值称为此方程(组)和不等式(组)的“理想解”.
例：已知方程2x-3=1与不等式x+3>0，当x=2时， $2 x - 3 = 2 \times 2 - 3 = 1, x + 3 = 2 + 3 = 5 > 0$ 同时成立，则称“x=2”是方程2x-3=1与不等式x+3>0的“理想解”.

(1)、已知试判断方程： $2 x + 3 = 1$ 的解是否为它与它们中某个不等式的“理想解”；

(2)、若 $\{\begin{matrix} x = x_{0} \\ y = y_{0} \end{matrix}$ 是方程x-2y=4与不等式组 $\{\begin{matrix} x > 3 \\ y < 1 \end{matrix}$ 的“理想解”，求 $x_{0} + 2 y_{0}$ 的取值范围；

(3)、当关于x的方程 $\frac{x - 5}{6} = \frac{m}{3} - 1$ 与关于x的不等式 ${\begin{cases} 2 （ x + 1 ）＞ m - 1 \\ \frac{x - 1}{2} \geq \frac{2 x + 1}{3} - 2 \end{cases}$ 恰有7个理想解为整数，若3m-n+p=4，m+n+p=6，求M=2m+3n-p的值.

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13. 定义：如果两个一元一次方程的解之差为6，我们就称这两个方程为“活力方程”，如果两个一元一次方程的解之差大于6，我们此称解较大的方程为另一方程的“领先方程”，例如：方程 $4 x = 8$ 和 $2 x + 1 = - 7$ 为“活力方程”，方程 $2 x = 6$ 是方程 $x + 4 = - 1$ 的“领先方程”．

(1)、若关于x的方程 $3 x + s = 0$ 和方程 $4 x - 2 = x + 10$ 是“活力方程”，求s的值．

(2)、若“活力方程”的两个解分别为a，b $(a ＞ b)$ ，且a，b分别是关于x的不等式组 $\{\begin{matrix} \frac{x - 1}{3} - \frac{k}{2} ＜ 1 ， \\ 5 x - 1 \geq 3 (x + 1) \end{matrix}$ 的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围．

(3)、方程 $2 x + 7 = 23$ 是若关于x的方程 $\frac{m + 3 x}{2} = 12 - m$ 的“领先方程”，关于x的不等式组 $\{\begin{matrix} 2 (x + 1) > m - 1 \\ \frac{x - 1}{2} \geq \frac{2 x + 1}{3} - 2 \end{matrix}$ 有解且均为非负解，若 $M = 2 m + 3 n - p$ ， $3 m - n + p = 4$ ， $m + n + p = 6$ ，求M的取值范围．

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四、实践探究题

14. 根据以下素材，探索完成任务。

如何设计礼品盒制作方案

素材1

七年级数学兴趣小组计划制作底面为等边三角形的直三棱柱有盖礼品盒，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面（A型号）和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面（B型号）组成（如图1所示）。而A、B两种型号纸板可由一个大长方形硬纸板裁剪得到，具体裁剪方法见下面的裁法一、裁法二。

素材2

现有大长方形硬纸板n张.（说明：裁剪后的余料不可以再使用.）

问题解决

任务1

初探

方案

探究一：按素材1的裁剪方法，若x张大长方形硬纸板裁剪A型号纸板，y张大长方形硬纸板裁剪B型号纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完。

型号裁法	（裁法一）	（裁法二）	合计
型号裁法	大长方形硬纸板x（张）	大长方形硬纸板y（张）	▲
A型号(张数）	2x	0	2x
B型号（张数）	0	▲	▲

若n=13，

（1）完成右边填表；

（2）最多能做多少个礼品盒?

任务2

反思

方案

探究二：

若n=70，按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，请问最多能做多少个礼品盒？并说明理由。

任务3

优化

方案

探究三：为不浪费纸板，进行了裁剪再设计：

首先从n张大长方形硬纸板中选出1张大长方形纸板裁剪出一张A型和一张B型纸板（见裁法三），然后从剩余的纸板中按素材1的方法继续裁剪出A、B型纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完，若n在10张至30张之间（包括边界），则n的值为 ▲ 。（填空）

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五、综合题

15. 某校在今年3月12日“植树节”这一天，决定购买 $A$ 、 $B$ 两种树苗对校园进行绿化改造，已知购买 $A$ 种树苗5棵， $B$ 种树苗4棵，需要600元．若购买 $A$ 种树苗3棵， $B$ 种树苗10棵，则需要740元．

(1)、求购买 $A$ 、 $B$ 两种树苗每棵各需要多少元？

(2)、考虑到绿化效果和资金问题，购进 $A$ 种树苗不能少于60棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过6870元．需购进这两种树苗共100棵，若种植一棵 $A$ 种树苗需支付工钱30元，种植一棵 $B$ 种树苗需支付工钱40元，且支付种树苗的工钱最多为3410元，有哪几种购买方式？

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16. “成都成就梦想”，第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日在成都举行，某特许经销商试销售A，B两类大运会纪念品，若A类纪念品每个进价比B类纪念品每个进价少5元，且用90元购进A类纪念品的数量和100元购进B类纪念品的数量相同．

(1)、求A，B两类纪念品每个进价分别是多少元？

(2)、若该经销商购进A类纪念品数量比B类纪念品数量的3倍还少5个，两类纪念品的总数不超过95个，且B类纪念品的个数多于24个，求该经销商应购进B类纪念品多少个？

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