沪科版数学九年级上册相似型培优提尖之折叠问题

试卷更新日期：2024-10-24 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点 $C$ 的对称点 $E$ 落在边AB上，点 $D$ 的对称点为点F，EF交AD于点 $G$ ，连接CG交PQ于点 $H$ ，连接 $C E, A B = 6$ ，下列说法错误的是（）

A、 $△ P B E ~ △ Q F G$ B、当 $B E = 2$ 时， $D Q = \frac{3}{2}$ C、当 $E G = 5$ 时， $B E = 2$ 或3 D、 $E G^{2} - C H^{2} = G Q \cdot G D$

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二、填空题

三、解答题

2. 【模型搭建】（1）如图1， $D$ 是等边三角形 $A B C$ 的边 $A B$ 上一点，现将 $△ A B C$ 折叠，使点 $C$ 与点 $D$ 重合，折痕为 $E F$ ，点 $E 、 F$ 分别在 $A C$ 和 $B C$ 上．
①若 $B F = 2 A D$ ，则 $\frac{D E}{D F} =$ ______．
②若 $B D = 2 A D$ ， $△ A D E$ 与 $△ B F D$ 的周长分别为 $m, n$ ，则 $\frac{m}{n} =$ ______， $\frac{C E}{C F} =$ ______．
【灵活应用】（2）如图2，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 60 °$ ，点 $D, E$ 分别在边 $A B, A C$ 上，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 向下翻折至 $△ F D E$ ，连结 $B F, B C$ 平分 $∠ A B F$ ．若 $B F = 20$ ， $C E = 1$ ，求 $A C$ 的长．

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四、实践探究题

3.

(1)、【初步探究】把矩形纸片 $A B C D$ 如图①折叠，当点B的对应点 $B^{'}$ 在 $M N$ 的中点时，填空： $△ E B^{'} M$ $△ B^{'} A N$ （“ $≌$ ”或“ $∽$ ”）．

(2)、【类比探究】
如图②，当点B的对应点 $B^{'}$ 为 $M N$ 上的任意一点时，请判断（1）中结论是否成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．

(3)、【问题解决】
在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4 ， B C = 6$ ，点E为 $B C$ 中点，点P为线段 $A B$ 上一个动点，连接 $E P$ ，将 $△ B P E$ 沿 $P E$ 折叠得到 $△ B^{'} P E$ ，连接 $D E ， D B^{'}$ ，当 $△ E B^{'} D$ 为直角三角形时， $B P$ 的长为．

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五、综合题

4. 如图，已知 $A D / / B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = 4$ ， $P$ 为线段 $A B$ 上一动点 $.$ 将 $△ B P C$ 沿 $P C$ 翻折至 $△ E P C$ ，延长 $C E$ 交射线 $A D$ 于点 $D$

(1)、如图 $1$ ，当 $P$ 为 $A B$ 的中点时，求出 $A D$ 的长．

(2)、如图 $2$ ，延长 $P E$ 交 $A D$ 于点 $F$ ，连接 $C F$ ，求证： $∠ P C F = 45 °$ ．

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5. 如图1，在正方形 $A B C D$ 中，点E、F分别在 $B C 、 C D$ 上，且 $B E = D F ， A E 、 A F$ 分别与 $B D$ 交于点G、H ，过点G作 $G N ⊥ A F$ ，垂足为M ，交 $A D$ 于点N ．

(1)、求证： $A H = G N$ ；

(2)、若 $∠ E A F = 45 °$ ，求证： $\frac{A H}{A F} = \frac{B G}{C F}$ ；

(3)、如图2，过点G作 $G Q ⊥ A D$ ，垂足为Q ，交 $A F$ 于点P ．若 $G M = 4 M N$ ，求 $\frac{A P}{G P}$ 的值．

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