贵州省六盘水市2023-2024学年高二下学期5月期中质量监测数学试题

试卷更新日期：2024-05-19 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（）．

A、5，7 B、6，7 C、8，5 D、8，7

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2. 设集合 $M = \{m \in Z |- 3 < m < 2\}$ ， $P = \{x |- 1 \leq x \leq 3\}$ ，则 $M \cap P =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1\}$ B、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ C、 $\{x |- 3 < x \leq 3\}$ D、 $\{x |- 1 \leq x < 2\}$

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3. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点，过 $F_{1}$ 且不与坐标轴重合的直线 $l$ 椭圆C于A，B两点，则 $△ A B F_{2}$ 的周长为（）

A、4 B、8 C、16 D、32

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4. 设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{1} = 1$ ，公差 $d = 2, S_{k + 2} - S_{k} = 24$ ，则k=

A、8 B、7 C、6 D、5

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5. 已知 $|\vec{A C}| = 3$ ， $|\vec{A B}| = 5$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = - \frac{15}{2}$ ，则 $|\vec{B C}| =$ （）

A、6 B、7 C、 $\sqrt{19}$ D、 $\sqrt{34}$

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6. 已知函数 $f (x) = c o s (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π)$ ，是最小正周期为 $2 π$ 的奇函数，若 $c o s θ + f (θ) = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{1 - s i n 2 θ}{c o s θ - s i n θ} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{17}}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{17}}{3}$

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7. 现有参加中国——东盟妥乐峰会志愿者的报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有8名男生和2名女生的报名表.随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，则恰好抽到男生和女生的报名表各一份的概率为（）

A、 $\frac{21}{100}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{8}{9}$

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8. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $x | x | + y | y | = 1$ ，则 $| x + y - 4 |$ 的取值范围是（）

A、 $[3, 4)$ B、 $[2 \sqrt{2}, 3]$ C、 $[4 - \sqrt{2}, 4)$ D、 $[2 \sqrt{2} - 1, 2 \sqrt{2})$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知 $i$ 是虚数单位， $z$ 是复数，则下列说法正确的是（）

A、 $i^{2024} = - 1$ B、 $z = \frac{3 - 2 i}{1 + i}$ 的虚部是 $- \frac{5}{2}$ C、 $z \cdot \bar{z} = {| z |}^{2}$ D、 $z = 3 + 2 i$ 对应的点在第一象限

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10. 同时满足：① $f (x)$ 为偶函数，② $f (x) < 1$ ， ③ $f (x)$ 有最大值，这三个条件的选项有（）

A、 $f (x) = \frac{1}{2} c o s x$ B、 $f (x) = | s i n x |$ C、 $f (x) = | x |$ D、 $f (x) = - 2^{| x |}$

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11. 已知函数 $y = f (x)$ 图象上的点 $(x, y)$ 与方程 ${(e^{3 x} - 4 e^{x} - y)}^{11} + e^{11 x} = 3 e^{x} - e^{3 x} + y$ 的解 $(x, y)$ 一一对应，则下列选项中正确的是（）

A、 $f (x) = e^{3 x} - 3 e^{x}$ B、0是 $f (x)$ 的极值点 C、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的最小值为0

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知 $\vec{a} = (2, 1, 0)$ ， $\vec{b} = (- 1, 0, 1)$ .则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ .

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13. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.该书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高四尺.问：积及委米几何?”其意思：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为4尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约有斛.

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14. 已知函数 $f (x) = e^{x - a} - \sqrt{2} s i n x$ 在 $(0, + \infty)$ 上仅有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量 $ξ$ 表示所选3人中女生的人数.
（1）求 $ξ$ 的分布列；
（2）求 $ξ$ 的数学期望；
（3）求“所选3人中女生人数 $ξ \leq 1$ ”的概率.

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16. 如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B = 2 B C = 8$ ，点M是棱 $C C_{1}$ 的中点，点E在 $C C_{1}$ 上，且 $C E = 2$ .

(1)、证明： $A M / /$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求平面 $B D E$ 与平面 $C D E$ 的夹角的余弦值

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17. 已知函数 $f (x) = a x - l n x (a \in R)$

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、 $\forall x \in (0, + \infty)$ ， $f (x) > 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线 $y = x + 1$ 与抛物线 $C$ ： $y^{2} = m x$ 相切.

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、已知点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 在抛物线 $C$ 上，A ， B分别位于第一象限和第四象限，且 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = - 4$ ，过A ， B分别作直线 $x = - 1$ 的垂线，垂足分别为 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ，当四边形 $A A_{1} B_{1} B$ 面积取最小值时，求直线 $A B$ 的方程.

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19. 若数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的项数均为 $m$ ，则将数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的距离定义为 $\sum_{i = 1}^{m} |a_{i} - b_{i}|$ .

(1)、求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；

(2)、记A为满足递推关系 $a_{n + 1} = \frac{1 + a_{n}}{1 - a_{n}}$ 的所有数列 $\{a_{n}\}$ 的集合，数列 $\{b_{n}\}$ 和 $\{c_{n}\}$ 为A中的两个元素，且项数均为 $m$ .若 $b_{1} = 2$ ， $c_{1} = 3$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 和 $\{c_{n}\}$ 的距离 $\sum_{i = 1}^{m} |b_{i} - c_{i}| \leq 2024$ ，求m的最大值；

(3)、记S是所有7项数列 $\{a_{n}\}$ （其中 $1 \leq n \leq 7$ ， $a_{n} = 0$ 或1）的集合， $T \subseteq S$ ，且T中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证：T中的元素个数小于或等于16.

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