贵州省黔南州2024届高三下学期第二次模拟统考数学试题

试卷更新日期：2024-04-20 类型：高考模拟

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. $n \in N^{*}$ ，数列1， $- 3$ ， 7， $- 15$ ， 31， $\cdot \cdot \cdot$ 的一个通项公式为（）

A、 $a_{n} = (2^{n} - 1) \cos n π$ B、 $a_{n} = (1 - 2^{n}) sin \frac{n π}{2}$ C、 $a_{n} = 2^{n} - 1$ D、 $a_{n} = {(- 1)}^{n} (1 - 2^{n})$

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2. 双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = m$ （ $m > 0$ ）的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm 2 x$ B、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ C、 $y = \pm 2 m x$ D、 $y = \pm \frac{1}{2 m} x$

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3. 若函数 $f (x) = cos (x - \frac{π}{3} + φ)$ 为偶函数，则 $φ$ 的值可以是（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{4 π}{3}$ C、 $π$ D、 $\frac{π}{2}$

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4. 空气质量指数简称AQI，是定量描述空气质量状况的无量纲指数.AQI的数值越大、级别越高，说明空气污染状况越严重.某地区4月1日22时至4月2日5时的AQI整点报告数值为：15，17，20，22，20，23，19，21，则这组数据的第70百分位数是（）

A、19 B、20 C、21 D、22

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5. 已知直线 $y = x + 2 k$ 与直线 $y = - x$ 的交点在圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 的内部，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $- 1 < k < 1$ B、 $- 2 < k < 2$ C、 $- 3 < k < 3$ D、 $- \sqrt{2} < k < \sqrt{2}$

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6. 某学生为制作圆台形容器，利用如图所示的半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是 $2 cm$ 和 $4 cm$ ）铁皮材料，通过卷曲使得 $A B$ 边与 $D C$ 边对接制成圆台形容器的侧面，则该圆台的高为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2} cm$ B、 $1 cm$ C、 $\sqrt{3} cm$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2} cm$

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7. 我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号，今年2024年是龙年.那么从今年起的 $(13^{14} + 1)$ 年后是（）

A、虎年 B、马年 C、龙年 D、羊年

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8. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左焦点为 $F$ ，过焦点 $F$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ 的一条切线 $l$ 交椭圆 $E$ 的一个交点为A，切点为 $Q$ ，且 $\vec{O A} + \vec{O F} = 2 \vec{O Q}$ （ $O$ 为坐标原点），则椭圆 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）

9. 已知非空集合 $M$ ， $N$ ， $P$ 均为 $R$ 的真子集，且 $M \subseteq N \subseteq P$ ，则（）

A、 $M \cup P = M$ B、 $N$ $\subseteq$ $(P \cap M)$ C、 $∁_{R} P$ $\subseteq$ $∁_{R} N$ D、 $M \cap ∁_{R} N = \emptyset$

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10. 若函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，且 $f (x + 2) = - f (x)$ ， $f (1) = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (3) = - 1$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(2, 0)$ 中心对称 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 D、 $f (1) + f (2) + f (3) + \cdot \cdot \cdot + f (2023) + f (2024) = 1$

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11. 已知锐角 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4} (a^{2} + c^{2} - b^{2})$ ．则下列说法正确的是（）

A、 $B = \frac{π}{3}$ B、 $A$ 的取值范围为 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ C、若 $b = \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆的半径为2 D、若 $a = \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积的取值范围为 $(\frac{3 \sqrt{3}}{8}, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12. $i$ 为虚数单位，若 $z$ 是以 $2 + i$ 的实部为虚部、以 $2 i + 1$ 的虚部为实部的复数，则 $z$ 的共轭复数的模长为.

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13. 已知四面体 $A - B C D$ 的四个面都为直角三角形， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $∠ B D C$ 为直角，且 $A B = B C = \sqrt{2} C D = 2 \sqrt{2}$ ，则四面体 $A - B C D$ 的体积为，其外接球的表面积为.

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14. 欧拉函数 $φ (n)$ 表示不大于正整数 $n$ 且与 $n$ 互素（互素：公约数只有1）的正整数的个数.已知 $φ (n) = n (1 - \frac{1}{p_{1}}) \cdot \cdot \cdot (1 - \frac{1}{p_{2}}) (1 - \frac{1}{p_{r}})$ ，其中 $p_{1}$ ， $p_{2}$ ， …， $p_{r}$ 是 $n$ 的所有不重复的质因数（质因数：因数中的质数）.例如 $φ (100) = 100 \times (1 - \frac{1}{2}) (1 - \frac{1}{5}) = 40$ .若数列 $\{a_{n}\}$ 是首项为3，公比为2的等比数列，则 $φ (a_{1}) + φ (a_{2}) + φ (a_{3}) + \cdot \cdot \cdot + φ (a_{100}) =$ .

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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15. 已知抛物线 $E$ ： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点为 $F$ ，过焦点 $F$ 作直线 $l$ 交抛物线 $E$ 于 $A, B$ 两点， $D$ 为抛物线 $E$ 上的动点，且 $|D F|$ 的最小值为1.

(1)、抛物线 $E$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 交抛物线 $E$ 的准线于点 $C (- 1, - 2)$ ，求线段 $A B$ 的中点的坐标.

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16. 2024年3月20日8时31分，探月工程四期鹊桥二号中继星由长征八号遥三运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射升空，为嫦娥四号、嫦娥六号等任务提供地月间中继通信，使我国探月工程进入新阶段.为激发学生对航天的热爱，某校开展了航天知识竞赛活动.经过多轮比拼，最终只有甲，乙两位同学进入最后一轮.在最后一轮比赛中，有A， $B$ 两道问题.其中问题A为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙两人抢到的概率均为 $\frac{1}{2}$ ；问题 $B$ 为必答题，甲、乙两人都要回答.已知甲能正确回答每道题的概率均为 $\frac{3}{4}$ ，乙能正确回答每道题的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，且甲、乙两人各题是否答对互不影响.

(1)、求问题A被回答正确的概率；

(2)、记正确回答问题 $B$ 的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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17. 如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为正方形， $A F ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E F // A D$ ， $A D = 3$ ， $E F = \frac{3}{2}$ ， $C F = 3 \sqrt{3}$ ， $N$ 是 $B F$ 的中点， $B E$ 与 $C F$ 交于点 $M$ .

(1)、证明： $A N ⊥$ 平面 $B C E F$ ；

(2)、求直线 $M D$ 和平面 $A C F$ 所成角的大小.

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18. 已知函数 $f (x) = ln (x + m) - x$ 和 $g (x) = e^{x} - x$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与直线 $2 y - 3 x = 0$ 垂直，求 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(2)、当 $m \leq 2$ 时，证明： $f (x)$ 的图象恒在 $g (x)$ 的图象的下方.

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19. 1799年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数一元 $n$ 次多项式方程在复数域上至少有一根（ $n \geq 1$ ）.此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着基础作用.由此定理还可以推出以下重要结论： $n$ 次复系数多项式方程在复数域内有且只有 $n$ 个根（重根按重数计算）.对于 $n$ 次复系数多项式 $f (x) = x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdot \cdot \cdot + a_{1} x + a_{0}$ ，其中 $a_{n - 1}$ ， $a_{n - 2}$ ， $\cdot \cdot \cdot, a_{0} \in C$ ，若方程 $f (x) = 0$ 有 $n$ 个复根 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}$ ，则有如下的高阶韦达定理： $\{\begin{array}{l} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} = - a_{n - 1} \\ \sum_{1 \leq i < j \leq n}^{n} x_{i} x_{j} = a_{n - 2} \\ \sum_{1 \leq i < j < k \leq n}^{n} x_{i} x_{j} x_{k} = - a_{n - 3} \\ ⋮ \\ x_{1} x_{2} \cdot \cdot \cdot x_{n} = {(- 1)}^{n} a_{0} \end{array}$

(1)、在复数域内解方程 $x^{2} + 4 = 0$ ；

(2)、若三次方程 $x^{3} + a x^{2} + b x + c = 0$ 的三个根分别是 $x_{1} = 1 - i$ ， $x_{2} = 1 + i$ ， $x_{3} = 2$ （ $i$ 为虚数单位），求 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值；

(3)、在 $n \geq 4$ 的多项式 $f (x) = x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdot \cdot \cdot + a_{1} x + a_{0}$ 中，已知 $a_{n - 1} = - 1$ ， $a_{1} = - n^{2} a$ ， $a_{0} = a$ ， $a$ 为非零实数，且方程 $f (x) = 0$ 的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根（用含 $n$ 的式子表示）.

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