人教版数学九年级全册知识点训练营——三角形的外接圆与外心

试卷更新日期：2024-10-24 类型：复习试卷

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一、夯实基础

1. 在一个直角三角形中，两边长分别是5，12，那么这个三角形的外接圆的半径是．

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2. 如图所示，在一个长度为8的梯子AB的顶点 $A$ 向点 $C$ 滑动的过程中，梯子的两端A，B与墙的底端 $C$ 构成的三角形的外心与点 $C$ 的距离是否发生变化?若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出其长度.

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二、能力提升

3. 如图在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP，若∠A=50°，则∠BPC=（）

A、100° B、95° C、90° D、50°

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4. 如图， $⊙ O$ 是等边三角形 $A B C$ 的外接圆，其半径为4．过点B作 $B E ⊥ A C$ 于点E，点P为线段 $B E$ 上一动点（点P不与B，E重合），则 $C P + \frac{1}{2} B P$ 的最小值为．

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5. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C, ∠ D = 120 °, B C = C D = 6$ ，点 $E$ 为 $B C$ 上方一动点，连接 $B E$ 、 $C E, ∠ B E C = 30 °$ ，以点 $E$ 为圆心作 $⨀ E, ⨀ E$ 的半径为2，点 $P$ 为 $⨀ E$ 上一动点，连接 $C P$ 、 $E P$ ，则 $C P$ 的最大值为

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6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，点D为线段AB的中点，将线段BC绕点B顺时针旋转90°，得到线段BE ，连接DE ，则DE最大值是．

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三、拓展创新

7. 如图是一个含有3个正方形的相框，其中∠BCD＝∠DEF＝90°，AB＝2，CD＝3，EF＝5，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A，G， H三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（）

A、 $\frac{5}{2} \sqrt{10}$ B、 $\frac{7}{2} \sqrt{5}$ C、 $5 \sqrt{2}$ D、 $\frac{11}{2} \sqrt{2}$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 120 °$ ，分别作 $A C$ ， $A B$ 两边的垂直平分线 $P M$ 、 $P N$ ，垂足分别是点M、N，以下说法：① $∠ P = 60 °$ ；② $∠ E A F = ∠ B + ∠ C$ ；③ $P E = P F$ ；④点P到点B和点C的距离相等．其中正确的是（）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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9. 图，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x - 3$ 的图像与x轴交于点A，B，交y轴于点C，动点P在射线AB运动，作△BCP的外接圆⊙M，当圆心M落在该抛物线上时，则AP的值（）

A、3 B、4 C、5 D、3.5

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10. 如图，已知 $△ A B C$ ，外心为 $O$ ， $B C = 18$ ， $∠ B A C = 60 °$ ，分别以 $A B$ ， $A C$ 为腰向形外作等腰直角三角形 $△ A B D$ 与 $△ A C E$ ，连接 $B E$ ， $C D$ 交于点P，则 $O P$ 的最小值是.

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11. 如图，△ABC为⊙O的内接等边三角形，BC＝12，点D为 $\overset{⌢}{B C}$ 上一动点，BE⊥OD于E，当点D由点B沿 $\overset{⌢}{B C}$ 运动到点C时，线段AE的最大值是．

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12. 已知： $A D$ ， $C E$ 都是锐角 $△ A B C$ 的高．

(1)、如图 $1$ ，求证： $∠ B = ∠ C A D + ∠ A C E$ ；

(2)、如图 $2$ ，延长 $C E$ 至 $F$ ，使 $C F = A B$ ，连接 $A F$ ， $B F$ ，过点 $C$ 作 $C G ⊥ B F$ 于点 $G$ ，在 $C G$ 上取点 $M$ ，使 $C M = B F$ ，连接 $F M$ ，求证： $A F = F M$ ；

(3)、如图 $3$ ，在(2)的条件下，过点 $A$ 作 $A N ⊥ G M$ 于点 $N$ ，若 $A N = 14$ ， $C N - B G = 8$ ，求线段 $M N$ 的长．

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