浙江省余姚市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷

试卷更新日期：2024-02-08 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 经过 $A (- 1, 2 \sqrt{3}), B (2, \sqrt{3})$ 两点的直线的倾斜角为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

查看试题解析
2. 已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ ，圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y + 1 = 0$ ，则两圆的位置关系为（）

A、内切 B、相交 C、外切 D、外离

查看试题解析
3. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $A_{1} D_{1}$ 的中点，若 $\vec{B E} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A A_{1}}$ ，则 $(x, y, z) =$ （）

A、 $(- 1, \frac{1}{2}, 1)$ B、 $(1, \frac{1}{2}, 1)$ C、 $(1, - \frac{1}{2}, 1)$ D、 $(- 1, - \frac{1}{2}, 1)$

查看试题解析
4. 双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的焦点到渐近线的距离为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{6}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

查看试题解析
5. 已知函数 $f (x) = \cos x + \sin 2 x$ ，则 $f^{'} (\frac{π}{2}) =$ （）

A、 $- 3$ B、 $0$ C、 $- 2$ D、 $2$

查看试题解析
6. 把正方形纸片 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折成直二面角， $E$ 为 $A B$ 的中点， $F$ 为 $C D$ 的中点， $O$ 是原正方形 $A B C D$ 的中心，则折纸后 $∠ E O F$ 的余弦值大小为（）

A、 $- \frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{3}$

查看试题解析
7. 数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列1，1，2，3，5，8 $\dots$ 其中从第 $3$ 项起，每一项都等于它前面两项之和，即 $a_{1} = a_{2} = 1$ ， $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}$ ，这样的数列称为“斐波那契数列”，则下列各式中正确的选项为（）

A、 $a_{101} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{100}$ B、 $a_{101} = a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots + a_{99}$ C、 $a_{101} = a_{2} + a_{4} + a_{6} + \dots + a_{100}$ D、 $a_{101} = 2 (a_{3} + a_{6} + a_{9} + \dots + a_{99}) + 1$

查看试题解析
8. 设椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F (- c, 0)$ ，点 $A (3 c, 0)$ 在椭圆外， $P$ ， $Q$ 在椭圆上，且 $P$ 是线段 $A Q$ 的中点. 若椭圆的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则直线 $P Q$ ， $Q F$ 的斜率之积为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

查看试题解析

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列说法中正确的是（）

A、直线 $x + y + 1 = 0$ 在 $y$ 轴上的截距是 $1$ B、直线 $m x + y + m + 2 = 0 (m \in R)$ 恒过定点 $(- 1, - 2)$ C、点 $(0, 0)$ 关于直线 $x - y - 1 = 0$ 对称的点为 $(1, - 1)$ D、过点 $(1, 2)$ 且在 $x$ 轴､ $y$ 轴上的截距相等的直线方程为 $x + y - 3 = 0$

查看试题解析
10. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于整除的问题.现将1到500这500个数中能被2除余1且被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 $\{a_{n}\}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $a_{10} = 55$ B、 $a_{8} - a_{6} = 24$ C、 $S_{10} = 280$ D、数列 $\{a_{n}\}$ 共有84项

查看试题解析
11. 已知抛物线 $C$ ： $y = - \frac{1}{8} x^{2}$ 的焦点为 $F$ ，点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为抛物线 $C$ 上一动点，点 $A (1, - 3)$ ，则（）

A、抛物线 $C$ 的准线方程为 $y = 2$ B、 $|P A| + |P F|$ 的最小值为5 C、当 $x_{0} = 4$ 时，则抛物线 $C$ 在点 $P$ 处的切线方程为 $x + y - 4 = 0$ D、过 $A F$ 的直线交抛物线 $C$ 于 $M, N$ 两点，则弦 $M N$ 的长度为16

查看试题解析
12. 已知 $x^{2} - y^{2} < e^{x} - e^{- y}$ ，则（）

A、 $ln (x + y + 1) < 0$ B、 ${(x + y)}^{2} + 1 < e^{x + y}$ C、 $x + y > - sin x - sin y$ D、 $cos x - cos y > y^{2} - x^{2}$

查看试题解析

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知 $\vec{a} = (1, 1, 1), \vec{b} = (- 1, 2, 1)$ ，则 $2 \vec{a} - \vec{b} =$ ．

查看试题解析
14. 已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ ， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{4}$ ， $- a_{3}$ 成等差数列，则 $a_{2024} =$ ．

查看试题解析
15. 若直线 $l$ 与单位圆和曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 均相切，则直线 $l$ 的方程可以是.（写出符合条件的一个方程即可）

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} + (1 - 2 a) e^{x} - a x (a \in R)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围.

查看试题解析

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 a x^{2} + 3 x$ （ $a$ 为常数），曲线 $y = f (x)$ 在点 $A (- 1, f (- 1))$ 处的切线平行于直线 $y = 8 x - 7$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的极值.

查看试题解析
18. 已知 $△ A B C$ 的三个顶点 $A (- 3, 2)$ ， $B (2, 1)$ ， $C (- 2, - 3)$ ．

(1)、求 $B C$ 边上中线 $A D$ 所在直线的方程；

(2)、已知点 $P (x, y)$ 满足 $S_{△ P B C} = 4$ ，且点 $P$ 在线段 $A C$ 的中垂线上，求点 $P$ 的坐标．

查看试题解析
19. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，且满足 $a_{n + 1} = \frac{4 a_{n}}{a_{n} + 2}$ .

(1)、证明：数列 $\{\frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{2}\}$ 是等比数列；

(2)、若 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} < 2024$ ，求正整数 $n$ 的最大值.

查看试题解析
20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $B C ∥ A D$ ， $A B ⊥ B C$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ P A B$ 是边长为2的正三角形， $B C = 1$ ， $A D = 3$ ， $\vec{P E} = λ \vec{P D} (0 < λ < 1)$ .

(1)、若 $C E ∥$ 平面 $P A B$ ，求 $λ$ 的值；

(2)、若 $λ = \frac{1}{4}$ ，求平面 $A B E$ 与平面 $P C D$ 的夹角的余弦值.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{a}{2} x^{2} + (a + 1) x .$

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a < 0$ ，证明： $f (x) \leq - \frac{3}{2 a} - 2$ .

查看试题解析
22. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (0, 2)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过点 $(- 3, 2)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于 $B, C$ 两点，直线 $A B, A C$ 分别与 $x$ 轴交于 $M, N$ 两点，求证： $M N$ 中点为定点．

查看试题解析