浙江省杭州市第十三中2024-2025学年九年级第一学期10月月考数学卷

试卷更新日期：2024-10-23 类型：月考试卷

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一、选择题（每小题3分,共30分,每小题只有一个正确选项）

1. 下列四个图形中，从中任取一个是中心对称图形的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、1

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2. 下列函数中，是关于 $x$ 的二次函数的是（）

A、 $y = x - 1$ B、 $y = a x^{2} + b x + c$ C、 $y = \frac{1}{x^{2}}$ D、 $y = - x (x + 3)$

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3. 下列说法正确的是（）

A、了解"浙江省初中生每天体育运动时间的情况"最适合的调查方式是全面调查 B、"打开电视机，恰好播放新闻"这一事件是不可能事件 C、大量重复试验时，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 D、甲、乙两人各跳绳10次，其成绩的平均数相等， ${S_{甲}}^{2} > {S_{乙}}^{2}$ ，则甲的成绩比乙稳定

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4. 图象的对称轴是 $y$ 轴的二次函数是（）

A、 $y = (x - 1)^{2}$ B、 $y = 2 (x + 1)^{2}$ C、 $y = 2 x^{2} - 2$ D、 $y = - (x + 1)^{2}$

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5. 将抛物线 $y = (x + 1)^{2}$ 向右平移2个单位再向下平移2个单位后，得到的图象的函数表达式为（）

A、 $y = (x - 1)^{2} - 2$ B、 $y = (x - 1)^{2} + 2$ C、 $y = (x + 1)^{2} + 2$ D、 $y = (x + 1)^{2} - 2$

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6. 在同一坐标系中，一次函数 $y = a x + a$ 与二次函数 $y = a x^{2} - a$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 以下各点可能成为抛物线 $y = - x^{2} + 2 m x$ 的顶点的是（）

A、(1，1) B、 $(1, 2)$ C、 $(- 1, - 1)$ D、 $(2, - 4)$

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8. 如图是抛物线形拱桥的示意图，已知水面宽4m，顶点离水面2m．当水面宽6m时，水面下降（）

A、1m B、1.5m C、2.5m D、4.5m

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9. 已知 $(- 1, y_{1}) 、 (- \frac{1}{2}, y_{2}) 、 (\frac{3}{2}, y_{3})$ 是抛物线 $y = 2 x^{2} - 4 x + m$ 上的点，则（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ C、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$ D、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$

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10. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象经过点 $(- 1, 2)$ ，且与 $x$ 轴交点的横坐标分别为 $x_{1}, x_{2}$ ，其中 $- 2 < x_{1} < - 1, 0 < x_{2} < 1$ ，顶点纵坐标大于2，下列结论：① $a b c > 0$ ；② $b^{2} + 8 a > 4 a c$ ；③ $a + c < 1$ ；④若 $m, n (m < n)$ 是方程 $a x^{2} + (b + 2) x = x - c$ 的两个根，则 $m < - 1, n > 0$ .其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（每小题3分，共18分）

11. 抛物线 $y = (x - 2)^{2} - 3$ 的顶点坐标是.

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12. 质检部门为了检测某品牌服装的质量，从同一批次共2000件产品中随机抽取50件进行检测，检测出次品1件，由此估计这一批产品中的次品件数是件.

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13. 已知点 $A (x_{1}, 4), B (x_{2}, 4)$ 是函数 $y = x^{2} - 3 x$ 图象上两点，则当 $x = x_{1} + x_{2}$ 时，函数值 $y$ =.

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14. 如图， $A, B$ 是两个可以自由转动的转盘，A转盘白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为 $12 0^{°}$ 和 $24 0^{°}$ ， B转盘被分成面积相等的两个黑白扇形；转动 $A, B$ 转盘各一次，两次指针都落在黑色区域的概率为.

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15. 已知 $x + 4 = 2 t, y + t = 20, S = x y$ ，当 $t =$ 时， $S$ 有最值，为.

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16. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ ，当 $- 2 \leq x \leq 2$ 时， $- 2 \leq y \leq 2$ .

(1)、若 $b = 0, c = 2$ ，则 $a =$ .

(2)、若抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (2, - 2)$ 和点 $B (- 2, 2)$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题（本题共有8个小题，共72分）

17. 已知二次函数 $y = a (x - 1)^{2} - 3 (a \neq 0)$ 的图象经过点（2，0）.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求二次函数图象与 $x$ 轴的交点坐标.

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18. 二次函数图象上部分点的横坐标 $x$ ，纵坐标 $y$ 的对应值如下表：
$x$
…
-4
-3
-2
-1
0
1
…
$y$
…
5
0
-3
-4
-3
$m$
…

(1)、 $m =$ ；

(2)、当 $y < 5$ 时， $x$ 的取值范围是；

(3)、当 $x$ 在什么范围内时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小?

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19. 第19届亚洲运动会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行.某高校为了了解学生对亚运会的关注度，设置了A（非常关注）、B（比较关注）、C（很少关注）、D（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.根据图中所提供的信息，解答下列问题：

(1)、本次调查共抽取了名学生，并补全条形统计图；

(2)、求A所在扇形的圆心角度数；

(3)、学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，直接写出甲、乙同时被选中的概率.

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20. 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD为直径的半圆 $O$ ，下部是一个矩形.已知矩形相邻两边之和为8米，半圆 $O$ 的半径为 $r$ 米；

(1)、求隧道截面的面积 $S (m^{2})$ 关于半径 $r (m)$ 的函数表达式，并写出 $r$ 的取值范围；（结果保留 $π$ ）

(2)、若2米 $\leq C D \leq 3$ 米，求隧道截面的面积 $S$ 的最大值.（ $π$ 取3）

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21. 甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别是2和7，乙口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别是3和6，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别是4，5，9.从这三个口袋中各随机地取出1个小球.

(1)、请你用列举法（画树状图或列表的方法）求取出的3个小球的标号全是偶数的概率是多少？

(2)、以取出的3个小球的标号分别表示三条线段的长度，求这三条线段能构成三角形的概率.

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22. 已知二次函数 $y = (x - m)^{2} - (x - m)$ .

(1)、试说明该二次函数的图象与 $x$ 轴必有两个交点；

(2)、若 $m = 1$ ，该抛物线沿 $x$ 轴平移多少个单位长度后，得到的抛物线经过原点；

(3)、若该二次函图象的顶点坐标为 $(\frac{5}{2}, n)$ ，求m，n的值.

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23. 新定义：如果二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象经过点（ $- 2, 0)$ ，那么称此二次函数的图象为"定点抛物线".

(1)、试判断二次函数 $y = - 3 x^{2} - 3 x + 6$ 的图象是否为"定点抛物线"；

(2)、若定点抛物线 $y = x^{2} + (m + 1) x + 2 - k$ 与直线 $y = x$ 只有一个公共点，求 $m$ 的值；

(3)、若一次函数 $y = (2 - n) x + 4 - 2 n$ 的图象与定点抛物线 $y = - x^{2} - x + 2$ 的交点的横坐标分别为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，且 $x_{1} < 3 < x_{2}$ ，求 $n$ 的取值范围.

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24. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A (3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，点 $C$ 在直线AB上，过点 $C$ 作 $C D ⊥ x$ 轴于点 $D (1, 0)$ ，将 $△ A C D$ 沿CD所在直线翻折，使点 $A$ 恰好落在抛物线上的点 $E$ 处.

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、抛物线上是否存在一点 $P$ ，使 $∠ P E A = ∠ B A E ?$ 若存在，求出 $P$ 点坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、已知点 $M$ 在抛物线上，点 $N$ 在直线CD上，若存在以A、B、M、N为顶点的平行四边形，请直接写出点 $M$ 的坐标.

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$x$	…	-4	-3	-2	-1	0	1	…
$y$	…	5	0	-3	-4	-3	$m$	…