浙江省余姚中学2023-2024学年高二下学期3月质量检测试题数学试卷

试卷更新日期：2024-03-29 类型：月考试卷

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{3} - 2, x \geq 0 \\ \frac{1}{x^{2}} - 1, x < 0 \end{matrix}$ ，则 $f (f (1)) =$ （）

A、1 B、0 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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2. 已知 $l, m$ 是两条不同的直线， $α, β$ 为两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的命题是（）

A、若 $α ⊥ β, l / / β$ ，则 $l ⊥ α$ B、若 $l ⊥ m, m \subset α$ ，则 $l ⊥ α$ C、若 $m \subset α, l / / β, l / / m$ ，则 $α / / β$ D、若 $m ⊥ α, l / / β, l / / m$ ，则 $α ⊥ β$

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3. 已知 $a b \neq 1$ ， $l o g_{a} m = 2$ ， $l o g_{b} m = 3$ ，则 $l o g_{a b} m =$ （）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{6}{5}$

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4. 在由0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的有(　　)

A、512个 B、192个 C、240个 D、108个

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5. 若 $(x - a) {(1 - 2 x)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为20，则 $a =$ （）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 已知三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C, A B ⊥ B C, A B = 3, B C = 4, P A = 5$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为（）

A、 $36 π$ B、 $40 π$ C、 $45 π$ D、 $50 π$

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7. 已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取 $i (i = 1, 2)$ 个球放入甲盒中．
（a）放入 $i$ 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 $ξ_{i} (i = 1, 2)$ ；
（b）放入 $i$ 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为 $p_{i} (i = 1, 2)$ ．则（）

A、 $p_{1} > p_{2}, E (ξ_{1}) < E (ξ_{2})$ B、 $p_{1} < p_{2}, E (ξ_{1}) > E (ξ_{2})$ C、 $p_{1} > p_{2}, E (ξ_{1}) > E (ξ_{2})$ D、 $p_{1} < p_{2}, E (ξ_{1}) < E (ξ_{2})$

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8. 设 $a = l n 102 - l n 100$ ， $b = \frac{1}{51}$ ， $c = t a n 0.02$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $b > c > a$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.

9. 下列命题中，正确的命题是（）

A、已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (n, p)$ ，若 $E (X) = 30, D (X) = 20$ ，则 $p = \frac{2}{3}$ B、某人在10次射击中，击中目标的次数为 $X, X \sim B (10, 0.7)$ ，当 $X = 7$ 时概率最大 C、设随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (0, 1)$ ，若 $P (ξ > 1) = p$ ，则 $P (- 1 < ξ < 0) = \frac{1}{2} - p$ D、已知 $P (A) = \frac{1}{3}, P (\bar{A}| B) = \frac{3}{4}, P (\bar{A}| \bar{B}) = \frac{1}{2}$ ，则 $P (B) = \frac{2}{3}$

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10. 如图所示，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是线段 $A D_{1}$ 的中点，点 $M, N$ 满足 $\vec{A_{1} M} = λ \vec{A_{1} C}$ ， $\vec{B_{1} N} = μ \vec{B_{1} C_{1}}$ ，其中 $λ, μ \in (0, 1)$ ，则（）

A、当 $λ = \frac{1}{2}, μ = \frac{2}{3}$ 时，过 $E, M, N$ 三点的平面截正方体得到的截面多边形为正方形 B、存在 $λ \in (0, 1)$ ，使得平面 $A D_{1} M ⊥$ 平面 $A B_{1} C$ C、存在 $λ, μ \in (0, 1)$ ，使得平面 $M E N$ $∥$ 平面 $A B_{1} C$ D、当 $μ = \frac{1}{2}$ 时，点 $A$ 到平面 $A_{1} N C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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11. 已知定义在实数集R上的函数 $f (x)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足 $f (x + y) = f (x) + f (y) + x y$ ， $f (1) = 0, f^{'} (1) = \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (x)$ 的图像关于点 $(\frac{1}{2}, 0)$ 成中心对称 C、 $f (2024) = 1012 \times 2023$ D、 $\sum_{k = 1}^{2024} f^{'} (k) = 1012 \times 2024$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知 $x^{4} + x^{8} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{8} {(x - 1)}^{8}$ ，则 $a_{0} =$ ， $a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7} =$ .

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13. 已知函数 $f (x) = 2 x + a$ ， $g (x) = l n x - 2 x$ ，如果对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in [\frac{1}{2} ， 2]$ ，都有 $f (x_{1}) \leq g (x_{2})$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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14. “布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 已知 ${(x^{2} + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{m}$ 的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求展开式中所有项的系数和；

(2)、求展开式中二项式系数最大的项；

(3)、将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $△ P A B$ 为正三角形，且侧面 $P A B ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $M$ 为 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $P B ∥$ 平面 $A C M$ ；

(2)、求直线 $B M$ 与平面 $P A D$ 所成角的正弦值；

(3)、求平面 $P A C$ 与平面 $P A D$ 夹角的余弦值．

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17. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了 $100$ 位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．

(1)、根据频率分布直方图，估计这 $100$ 位年轻人每天阅读时间的平均数 $\bar{x}$ （单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）

(2)、若年轻人每天阅读时间 $X$ 近似地服从正态分布 $N (μ, 100)$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均数 $\bar{x}$ ，求 $P (64 < X \leq 94)$ ；

(3)、为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组 $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[80, 90)$ 的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于 $[80, 90)$ 的人数 $ξ$ 的分布列和数学期望．
附参考数据：若，则① $P (μ - δ < X \leq μ + δ) = 0.6827$ ；② $P (μ - 2 δ < X \leq μ + 2 δ) = 0.9545$ ；③ $P (μ - 3 δ < X \leq μ + 3 δ) = 0.9973$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = |x - \frac{3}{x} + 2| + m$ .

(1)、若函数 $y = f (x)$ 有4个零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} (x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4})$ ，求 $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}$ 的值；

(2)、是否存在非零实数 $m$ ，使得函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b] (0 < a < b)$ 上的取值范围为 $[\frac{2 m}{a}, \frac{2 m}{b}]$ ？若存在，求出 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{2 x}}{2} - a e^{x} + x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的极值点个数；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，直线 $y = k x + b$ 过点 $(x_{1}, f (x_{1})), (x_{2}, f (x_{2}))$ .
（i）证明： $k > f^{'} (ln \frac{a}{2})$ ；
（ii）证明： $b < \frac{1}{2} - a$ .

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