一线三等角全等模型——浙教版数学八上知识点训练

试卷更新日期：2024-10-22 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如图，点 $C$ 在线段 $B D$ 上，且 $A B ⊥ B D, D E ⊥ B D, A B = C D, A C = C E$ ，下列说法错误的是（）

A、 $△ A B C ≅ △ C D E$ B、 $∠ A = ∠ E$ C、 $∠ A C E = 90^{\circ}$ D、 $B C = D E$

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2. 已知，如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC=CD，∠B=∠E=90°，AB=CE，则不正确的结论是（）

A、∠A与∠D互为余角 B、∠A=∠2 C、△ABC≌△CED D、∠1=∠2

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3. 数学活动课上，小亮同学用四根相同的火柴棒 AB，BC，CD，DE 在桌面上摆成如图所示的图形，其中点A，C，E在同一直线上，BC⊥CD，若AE=10，则点B，D到直线AE的距离之和为（）

A、5 B、2 $\sqrt{6}$ C、5 $\sqrt{2}$ D、10

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二、填空题

4. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{°}$ ，以其三边为边向外作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACMN，点G，N到直线DE的距离之和为9，则AB的长为；若点 $C$ 到直线DE的距离为4，连结GN，则GN的长为.

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5. 如图，点D，C，E在直线 $l$ 上，点A，B在 $l$ 的同侧， $A C ⊥ B C$ ，若 $A D = A C = B C = B E = 5$ ， $C D = 6$ ，则CE的长为.

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6. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC ，点D为BC上一点，过B、C两点分别作射线AD的垂线，垂足分别为点E ，点F ．若点F为AE中点，BE＝2，则BC的长为．

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7. 小李用7块长为 $8 cm$ ，宽为 $3 cm$ 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板 $(A B = B C, ∠ A B C = 90 °)$ 点 $B$ 在 $D E$ 上，点 $A$ 和 $C$ 分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 $cm$ ．

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三、解答题

8. 如图所示，为了测量一幢楼的高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P，在P处仰望旗杆顶C和楼顶A，两条视线的夹角正好为90°，量得点P到楼底的距离PB与旗杆的高度相等，都等于8 m，量得旗杆与楼之间的距离DB为33 m，求楼高AB.

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9. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $E$ 是边 $B C$ 上一点， $∠ B = ∠ A E D = ∠ C$ ， $∠ E A D = ∠ E D A .$ 求证： $A B + C D = B C$ ．

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10. 如图，这是某市工业开发区设计图纸的局部平面图，直线AB是一条河流，河旁边建有一个工厂P，点O，E在直线AB上，O是工厂P的进水口，E是污水净化后的出水口，且PE⊥AB，现计划在河旁边工厂P的同侧再建一座工厂Q，设计要求是：工厂Q也从点O处引水，OQ⊥OP，OQ=OP，污水净化后的排污出口为AB上的点F处，且FQ⊥AB.

(1)、请根据设计要求把图形补充完整(不需要尺规作图）。

(2)、已知QF=350米，PE=150米，求两个出水口E，F之间的距离（不计河的宽度）.

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11. 如图①，P是线段AB上与点A，B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线.如图②，在Rt△APC 中，∠A=90°，AC>AP，延长AP 至点B，使AB=AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD.将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于点E，连结CE并延长交PD的延长线于点F，连结BF.请确定△PCF的形状，并说明理由。

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12. 综合与实贱
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，点E为 $△ A B C$ 外一点， $A E ⊥ C E$ ，过B作 $B F ⊥ A E$ ，垂足分别为E、F.求证： $E F = B F - C E$ .

(1)、独立思考：请证明王老师提出的问题.

(2)、实践探究：王老师把原题作如下的更改，并提出新问题，请你解答.
如图2， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，点D是BC上一点， $B A = B D$ ， $C E ⊥ A D$ 于E ，求证： $A D = 2 C E$ .问题解决：

(3)、数学活动小组同学进一步对上述问题进行研究之后发现：
如图3， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，点D为BC上一点， $A E ⊥ C E$ ，过点A作 $A M ⊥ A E$ ，且 $A M = A E$ ，连接BM.若 $C E = 2$ ，请直接写出AG的值为.

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13. 综合运用：

(1)、【模型建立】如图1，等腰 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C B = C A$ ，直线 $E D$ 经过点C ，过点A作 $A D ⊥ E D$ 于点D ，过点B作 $B E ⊥ E D$ 于点E ，求证： $△ B E C ≌ △ C D A$ ．

(2)、【模型应用】如图2，已知直线 $l_{1} : y = 2 x + 4$ 与x轴交于点A ，与y轴交于点B ，将直线 $l_{1}$ 绕点A逆时针旋转 $45 °$ 至直线 $l_{2}$ ，求直线 $l_{2}$ 的函数表达式；

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14. 【概念建构】
在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ° ， A B = A C$ ，直线MN经过点A ， $B D ⊥ M N$ 于点D ， $C E ⊥ M N$ 于点E ．如图1，当直线MN在 $△ A B C$ 外部时，称 $R t △ A B D$ 和 $R t △ C A E$ 是 $R t △ A B C$ 的“双外弦三角形”，如图2，当直线MN在 $△ A B C$ 内部时，称 $R t △ A B D$ 和 $R t △ C A E$ 是 $R t △ A B C$ 的“双内弦三角形”，依据“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”的基本事实，我们得到“双外弦三角形”和“双内弦三角形”都是全等三角形，即 $R t △ A B D ≌ R t △ C A E$ ．

(1)、【概念应用】
如图3，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ° ， A M ⊥ B C$ 于点M ， $A M = B M = C M$ ， E是BC边上的点， $A E = D E$ ， $A E ⊥ D E$ ，连接AD ， BD ，若 $A E = 2 \sqrt{5} ， A M = 4$ ，求BD的长．
小亮同学在阅读与理解【概念建构】的基础上，作 $D N ⊥ B C$ 于点N构造出如图4所示的“双内弦三角形”，并应用“双内弦三角形”是全等三角形的结论求出了BD ．请你依照小亮的解题思路，写出解答过程．

(2)、请你应用“双内弦三角形”和“双外弦三角形”都是全等三角形的结论或者按照自己的解题思路解答下列问题．
如图5，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = 90 °$ ， D是AB边上一点， $D E = D C ， D E ⊥ D C$ ， DE交BC于点N ，延长EB ， CD交于点F ，猜想DB ， DF ， CN之间的数量关系，并说明理由．

(3)、【学以数用】
如图6， $A D ∥ B C$ ， $△ A B E$ 和 $△ C D F$ 是等腰直角三角形， $∠ E A B = ∠ F D C = 90 °$ ， $A D = 2 ， B C = 5$ ，直接写出 $△ A D E$ 和 $△ A D F$ 的面积和．

(4)、【拓展延伸】
如图7，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C ， ∠ A C B = 90 °$ ，点D在AB边上，过B作 $B E ⊥ C D$ 交CD延长线于点E ，延长EB至点F ，连接CF ，使 $∠ B C F = ∠ A B E$ ，连接AF交CD于点G ，若 $B E = \frac{8}{3}, C E = \frac{22}{3}$ ，直接写出 $△ E G F$ 的面积．

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15. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型.

(1)、【问题发现】
如图2，已知，△ABC中， $C A = C B$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，一直线过顶点C ，过A ， B分别作其垂线，垂足分别为E ， F.求证： $E F = A E + B F$ ；

(2)、如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出EF ， AE ， BF之间的数量系；

(3)、【问题提出】
在（2）的条件下，若 $B F = 4 A E$ ， $E F = 5$ ，则△BFC的面积为.

(4)、如图4，四边形ABCD中， $∠ A B C = ∠ C A B = ∠ A D C = 45 °$ ， △ACD面积为18且CD的长为9，则△BCD的面积为.

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