人教版数学九年级全册知识点训练营——四点共圆辅助圆模型

“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．

提出问题：

如图1所示，在线段$AC$同侧有两点$B$ ， $D$ ， 连接$AD$ ， $AB$ ， $BC$ ， $CD$ ， 如果$\angle B=\angle D$ ， 那么$A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$四点在同一个圆上．

探究展示：

如图2所示，作经过点$A$ ， $C$ ， $D$的$\odot O$ ， 在劣弧$AC$上取一点$E$（不与$A$ ， $C$重合），连接$AE$ ， $CE$ ，

则$\angle AEC+\angle D=180°$ ， （依据$1)$

$\because \angle B=\angle D$ ，

$\therefore \angle AEC+\angle B=180°$ ，

$\therefore$点$A$ ， $B$ ， $C$ ， $E$四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆）

$\therefore$点$B$ ， $D$在点$A$ ， $C$ ， $E$所确定的$\odot O$上，（依据$2)$

$\therefore$点$A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$四点在同一个圆上；

反思归纳：

（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

依据1：______；（从右边框内选一个选项，直接填序号）

依据2：______．（从右边框内选一个选项，直接填序号）

（2）如图3所示，在四边形$ABCD$中，$\angle 1=\angle 2=80°$ ， $\angle 3=42°$ ， 则$\angle 4$的度数为______．

四点共圆的条件

我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？小明经过实践探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，下面是小明运用反证法证明上述命题的过程：

已知：在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°．

求证：过点A、B、C、D可作一个圆．

证明：如图（1），假设过点A、B、C、D四点不能作一个圆，过A、B、C三点作圆，若点D在圆外，设AD与圆相交于点E，连接CE，则∠B+∠AEC=180° ， 而已知∠B+∠D=180°，所以∠AEC=∠D，而∠AEC是△CED的外角，∠AEC＞∠D，出现矛盾，故假设不成立，因此点D在过A、B、C三点的圆上．

如图（2）假设过点A、B、C、D四点不能作一个圆，过A、B、C三点作圆，若点D在圆内，设AD的延长线与圆相交于点E，连接CE，则∠B+∠AEC=180° ， 而已知∠B+∠ADC=180°，所以∠AEC=∠ADC，而∠ADC是△CED的外角，∠ADC＞∠AEC，出现矛盾，故假设不成立，因此点D在过A、B、C三点的圆上．

因此得到四点共圆的条件：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆．

学习任务：

①∠HBF＝45°；②点G是BF的中点；③若点H是AD的中点，则sin∠NBC$=\frac{\sqrt{10}}{10}$；④BN$=\sqrt{2}$BM；⑤若AH$=\frac{1}{2}$HD ， 则S_△BND$=\frac{11}{2}$S_△AHM ． 其中正确的结论是（      ）

图1     图2      图3

“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续利用上述结论进行探究.

提出问题：

如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接$AD\text{，}AB\text{，}BC\text{，}CD$ ， 如果$\angle B=\angle D$ ， 那么A，B，C，D四点在同一个圆上.

探究展示：求证：点A，B，C，D四点在同一个圆上

如图2，作经过点A，C，D的$\text{⊙}O$ ， 在劣弧$AC$上取一点E（不与A，C重合），连接$AE$ ， $CE$ ， 则$\angle AEC+\angle D=180°$.