浙江省湖州中学2023-2024学年高二下学期第二次阶段性测试数学试题

试卷更新日期：2024-05-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = \{x \in R | x^{2} < 10\}, B = \{2, 3, 4, 5\}$ 则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{3, 4\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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2. 已知正态分布 $N (1, σ^{2})$ 的正态密度曲线如图所示， $X ~ N (1, σ^{2})$ ，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　）

A、 $\frac{1}{2} - P (X \leq 0)$ B、 $\frac{1}{2} - P (X \geq 2)$ C、 $\frac{1}{2} - P (1 \leq X \leq 2)$ D、 $\frac{1}{2} P (X \leq 2) - \frac{1}{2} P (X \leq 0)$

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3. 若 $p : k = 1$ ， $q :$ 函数 $f (x) = l n \frac{k x - 1}{x + k}$ 为奇函数，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. $(1 + \frac{1}{x^{3}}) {(1 + x)}^{7}$ 展开式中 $x^{3}$ 项的系数为（）

A、 $42$ B、 $35$ C、 $7$ D、 $1$

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5. 2023贺岁档电影精彩纷呈，小明期待去影院观看．小明家附近有甲、乙两家影院，小明第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为 $\frac{2}{5}$ 和 $\frac{3}{5}$ ．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为 $\frac{3}{5}$ ；如果他第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为 $\frac{1}{2}$ ．若小明第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为（）

A、 $\frac{23}{50}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{5}{9}$

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6. 植树节这天，某学校组织5名学生依次给树木浇水，其中甲和乙是好朋友，必须相邻，丙不在第三位，则不同的浇水顺序的种数为（）

A、30 B、36 C、40 D、42

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7. 下列说法正确的是（）

A、随机变量 $X ~ B (3, 0.2)$ ，则 $P (X = 2) = 0.032$ B、某人在7次射击中，击中目标的次数为 $X$ 且 $X ~ B (7, 0.8)$ ，则当 $X = 5$ 时概率最大 C、从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件 D、从 $10$ 个红球和 $20$ 个白球颜色外完全相同中，一次摸出 $5$ 个球，则摸到红球的个数服从超几何分布

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8. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $g (x) = f^{'} (x) - 2 e^{x} + x$ 也是定义在 $R$ 上的奇函数，则关于 $x$ 的不等式 $g (1 - x^{2}) + g (2 x + 2) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (3, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 3) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- 1, 3)$ D、 $(- 3, 1)$

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二、多选题

9. 已知 $\frac{{(2 x + a)}^{5}}{x^{2}}$ 的展开式中所有项的系数之和为1，则（）

A、展开式的常数项为 $- 40$ B、 $a = 1$ C、展开式中系数最大的项的系数为80 D、所有幂指数为非负数的项的系数和为 $- 8$

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10. 已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $4 a b > 1$ B、 $2 a^{2} + b \geq \frac{7}{8}$ C、 $\frac{4}{a + 1} + \frac{1}{b} \geq \frac{9}{2}$ D、 $\sqrt{a} + \sqrt{b + 1} \leq 2$

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11. 如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设移动n次后质点位于位置 $X_{n}$ .则下列命题正确的是（）

A、 $P (X_{3} = 0) = 0$ B、 $P (X_{4} = - 2) = \frac{1}{4}$ C、 $E (X_{n}) = 0$ D、移动n次后质点最有可能回到原点

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三、填空题

12. 已知随机变量 $ξ$ 的取值为 $i (i = 0, 1, 2)$ ，若 $P (ξ = 0) = \frac{1}{5}$ ， $E (ξ) = 1$ ，则 $D (2 ξ - 3) =$ .

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13. 用模型 $y = a e^{b x}$ 拟合一组数据组 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 9)$ ，其中 $y_{1} y_{2} \cdot \cdot \cdot y_{9} = e^{51}$ .设 $z = ln y$ ，变换后的线性回归方程为 $\hat{z} = x + 5$ ，则 $x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{9} =$ ．

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14. 已知实数 $a$ ， $b$ 满足 $b (e^{a} - 1) + a = e^{b} - \ln b$ ，则 $b - 2 a$ 的最大值是.

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四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x + \frac{1}{x} + 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式；

(2)、用函数单调性的定义证明： $f (x)$ 在 $(0, 1)$ 上是减函数．

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16. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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17. 盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．

(1)、求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；

(2)、记取出的3个小球上的最小数字为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望 $E (X)$ ．

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18. 已知 $f (x) = - \frac{1}{2} e^{2 x} + 4 e^{x} - a x - 5$

(1)、当a=3时，求f(x)的单调区间；

(2)、若f(x)有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明：f( $x_{1}$ )+f( $x_{2}$ )+ $x_{1}$ + $x_{2}$ <0

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19. PM2.5是指环境空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物．它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量越高，说明空气污染越严重．城市中的PM2.5成分除扬尘等自然因素外，燃料的燃烧也是一个重要来源．某市环境检测部门为检测燃油车流量对空气质量的影响，在一个检测点统计每日过往的燃油车流量 $x$ （单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度 $y$ （单位： ${μg/m}^{3}$ ）．检测人员采集了50天的数据，制成 $2 \times 2$ 列联表（部分数据缺失）：

燃油车日流量 $x < 1500$
燃油车日流量 $x \geq 1500$
合计
PM2.5的平均浓度 $y < 100$
16

24
PM2.5的平均浓度 $y \geq 100$

20

合计
22

(1)、完成上面的 $2 \times 2$ 列联表，并根据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，能否认为PM2.5的平均浓度小于 $100 {μg/m}^{3}$ 与燃油车日流量小于1500辆有关联？

(2)、经计算得 $y$ 与 $x$ 之间的回归直线方程为 $\hat{y} = 0.12 x - 73.86$ ，且这50天的燃油车的日流量 $x$ 的标准差 $s_{x} = 249$ ， PM2.5的平均浓度 $y$ 的标准差 $s_{y} = 36$ ．若相关系数 $r$ 满足 $|r| \geq 0.75$ ，则判定所求回归直线方程有价值；否则判定其无价值．
①判断该回归直线方程是否有价值；
②若这50天的燃油车的日流量 $x$ 满足 $\sum_{i = 1}^{50} x_{i}^{2} = 1.23 \times 10^{8}$ ，试求这50天的PM2.5的平均浓度 $y$ 的平均数 $\bar{y}$ （利用四舍五入法精确到0.1）．
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
6.636
7.879
10.828
回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；
相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ．
参考数据： $\frac{1}{50} \times 1.23 = 0.0246$ ， $249^{2} = 62001$ ， $\sqrt{2397999} \approx 1548.55$ ．

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	燃油车日流量 $x < 1500$	燃油车日流量 $x \geq 1500$	合计
PM2.5的平均浓度 $y < 100$	16		24
PM2.5的平均浓度 $y \geq 100$		20
合计	22

$α$	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	6.636	7.879	10.828