浙江省（杭州二中、绍兴一中、温州中学、金华一中、衢州二中）五校联考2024届高考数学模拟卷

试卷更新日期：2024-05-22 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知复数 $z$ 满足 $\frac{z}{3 - i} = 1 + i$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面上对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 设集合 $M = \{x| x = 2 k + 1, k \in Z\}$ ， $N = \{x| x = 3 k - 1, k \in Z\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{x| x = 2 k + 1, k \in Z\}$ B、 $\{x| x = 3 k - 1, k \in Z\}$ C、 $\{x| x = 6 k + 1, k \in Z\}$ D、 $\{x| x = 6 k - 1, k \in Z\}$

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3. 已知不共线的平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ∥ (λ \vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则正数 $λ =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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4. 传输信号会受到各种随机干扰，为了在强干扰背景下提取微弱信号，可用同步累积法.设s是需提取的确定信号的值，每隔一段时间重复发送一次信号，共发送m次，每次接收端收到的信号 $X_{i} = s + ε_{i} (i = 1, 2, 3, \dots, m)$ ，其中干扰信号 $ε_{i}$ 为服从正态分布 $N (0, σ^{2})$ 的随机变量，令累积信号 $Y = \sum_{i = 1}^{m} X_{i}$ ，则Y服从正态分布 $N (m s, m σ^{2})$ ，定义信噪比为信号的均值与标准差之比的平方，例如 $X_{1}$ 的信噪比为 ${(\frac{s}{σ})}^{2}$ ，则累积信号Y的信噪比是接收一次信号的（）倍

A、 $\sqrt{m}$ B、m C、 $m^{\frac{3}{2}}$ D、 $m^{2}$

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5. 已知函数 $f (x) = cos (2 x + \frac{π}{4})$ ，则“ $θ = \frac{π}{8} + k π (k \in Z)$ ”是“ $f (x + θ)$ 为奇函数且 $f (x - θ)$ 为偶函数”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 在平面直角坐标系xOy中，直线 $y = 2 x + t$ 与圆C： $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = 0$ 相交于点A，B，若 $∠ A C B = \frac{2 π}{3}$ ，则 $t =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ 或 $- \frac{11}{2}$ B、－1或－6 C、 $- \frac{3}{2}$ 或 $- \frac{13}{2}$ D、－2或－7

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7. 已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高从低到高，互不相同，将他们排成相对身高为“高低高低高”或“低高低高低”的队形，则甲、丁不相邻的不同排法种数为（）

A、12 B、14 C、16 D、18

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8. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$ 上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得 $△ A B C$ 为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）

A、 $(\sqrt{2}, + \infty)$ B、 $(\sqrt{3}, + \infty)$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, + \infty)$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知函数 $f (x) = (x + 1) e^{x}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(- 2, + \infty)$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 的最小值为 $- \frac{1}{e^{2}}$ C、方程 $f (x) = 2$ 的解有2个 D、导函数 $f^{'} (x)$ 的极值点为 $- 3$

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10. 南丁格尔是一位英国护士、统计学家及社会改革者，被誉为现代护理学的奠基人.1854年，在克里米亚战争期间，她在接到英国政府的请求后，带领由38名志愿女护士组成的团队前往克里米亚救治伤员，并收集士兵死亡原因数据绘制了如下“玫瑰图”．图中圆圈被划分为12个扇形，按顺时针方向代表一年中的各个月份．每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例．扇形中的白色部分代表因疾病或其他原因导致的死亡，灰色部分代表因战争受伤导致的死亡．右侧图像为1854年4月至1855年3月的数据，左侧图像为1855年4月至1856年3月的数据．下列选项正确的为（）

A、由于疾病或其他原因而死的士兵远少于战场上因伤死亡的士兵 B、1854年4月至1855年3月，冬季（12月至来年2月）死亡人数相较其他季节显著增加 C、1855年12月之后，因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降 D、此玫瑰图可以佐证，通过改善军队和医院的卫生状况，可以大幅度降低不必要的死亡

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11. 如图，平面直角坐标系上的一条动直线l和x，y轴的非负半轴交于A，B两点，若 $|O A| + |O B| = 1$ 恒成立，则l始终和曲线C： $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 1$ 相切，关于曲线C的说法正确的有（）

A、曲线C关于直线 $y = x$ 和 $y = - x$ 都对称 B、曲线C上的点到 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 和到直线 $y = - x$ 的距离相等 C、曲线C上任意一点到原点距离的取值范围是 $[\frac{\sqrt{2}}{4}, 1]$ D、曲线C和坐标轴围成的曲边三角形面积小于 $1 - \frac{π}{4}$

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三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 若 ${(2 x - \frac{a}{x})}^{6}$ 展开式中的常数项为 $- 160$ ，则实数 $a =$ .

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13. 已知公差为正数的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $\{b_{n}\}$ 是等比数列，且 $S_{2} = - 2 {(b_{3} + b_{4})}^{2}$ ， $S_{6} = 6 (b_{1} + b_{2}) (b_{5} + b_{6})$ ，则 $\{S_{n}\}$ 的最小项是第项．

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14. 已知正三角形ABC的边长为2，中心为O，将 $△ A B C$ 绕点O逆时针旋转角 $θ (0 < θ < \frac{2 π}{3})$ ，然后沿垂直于平面ABC的方向向上平移至 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，使得两三角形所在平面的距离为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ，连接 $A A^{'}$ ， $A C^{'}$ ， $B A^{'}$ ， $B B^{'}$ ， $C B^{'}$ ， $C C^{'}$ ，得到八面体 $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则该八面体体积的取值范围为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知 $\frac{1}{\tan A}$ ， $\frac{1}{\cos B}$ ， $\frac{1}{\tan C}$ 是等差数列．

(1)、若a，b，c是等比数列，求 $\tan B$ ；

(2)、若 $B = \frac{π}{3}$ ，求 $\cos (A - C)$ ．

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16. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为F，椭圆上的点到点F距离的最大值和最小值分别为 $\sqrt{2} + 1$ 和 $\sqrt{2} - 1$ ．

(1)、求该椭圆的方程；

(2)、对椭圆上不在上下顶点的任意一点P，其关于y轴的对称点记为 $P^{'}$ ，求 $|P F| + |P^{'} F|$ ；

(3)、过点 $Q (2, 0)$ 作直线交椭圆于不同的两点A，B，求 $△ F A B$ 面积的最大值．

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17. 如图，已知三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $A B = B C = C A = A A_{1} = B B_{1} = 2$ ， $A_{1} B_{1} = 4$ ，点O为线段 $A_{1} B_{1}$ 的中点，点D为线段 $O A_{1}$ 的中点.

(1)、证明：直线 $A D ∥$ 平面 $O C C_{1}$ ；

(2)、若平面 $B C C_{1} B_{1} ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ，求直线 $A A_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成线面角的大小.

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18. 第二次世界大战期间，了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义.已知德军的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号.假设德军某月生产的坦克总数为N，随机缴获该月生产的n辆（ $n < N$ ）坦克的编号为 $X_{1}$ ， $X_{2}$ ， …， $X_{n}$ ，记 $M = max \{X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}\}$ ，即缴获坦克中的最大编号.现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N.
甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用 $\bar{X} = \frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{n}$ 估计总体的均值，因此 $N \bar{X} \approx \sum_{i = 1}^{N} i = \frac{N (N + 1)}{2}$ ，得 $\bar{X} \approx \frac{N + 1}{2}$ ，故可用 $Y = 2 \bar{X} - 1$ 作为N的估计.
乙同学对此提出异议，认为这种方法可能出现 $Y < M$ 的无意义结果.例如，当 $N = 5$ ， $n = 3$ 时，若 $X_{1} = 1$ ， $X_{2} = 2$ ， $X_{3} = 4$ ，则 $M = 4$ ，此时 $Y = 2 \cdot \frac{1 + 2 + 4}{3} - 1 = \frac{11}{3} < M$ .

(1)、当 $N = 5$ ， $n = 3$ 时，求条件概率 $P (Y < M| M = 5)$ ；

(2)、为了避免甲同学方法的缺点，乙同学提出直接用M作为N的估计值.当 $N = 8$ ， $n = 4$ 时，求随机变量M的分布列和均值 $E (M)$ ；

(3)、丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现 $E (M)$ 与N存在明确的大小关系，因此乙同学的方法也存在缺陷.请判断 $E (M)$ 与N的大小关系，并给出证明.

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19. 卷积运算在图象处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一般地，对无穷数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ ，定义无穷数列 $c_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{n + 1 - k} (n \in N_{+})$ ，记作 $\{a_{n}\} * \{b_{n}\} = \{c_{n}\}$ ，称为 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的卷积．卷积运算有如图所示的直观含义，即 $\{c_{n}\}$ 中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律 $\{a_{n}\} * \{b_{n}\} = \{b_{n}\} * \{a_{n}\}$ ．

(1)、若 $a_{n} = n$ ， $b_{n} = 2^{n}$ ， $\{a_{n}\} * \{b_{n}\} = \{c_{n}\}$ ，求 $c_{1}$ ， $c_{2}$ ， $c_{3}$ ， $c_{4}$ ；

(2)、对 $i \in N_{+}$ ，定义 $T_{i} \{a_{n}\}$ 如下：①当 $i = 1$ 时， $T_{i} \{a_{n}\} = \{a_{n}\}$ ；②当 $i \geq 2$ 时， $T_{i} \{a_{n}\}$ 为满足通项 $d_{n} = \{\begin{array}{l} 0, n < i \\ a_{n + 1 - i}, n \geq i \end{array}$ 的数列 $\{d_{n}\}$ ，即将 $\{a_{n}\}$ 的每一项向后平移 $i - 1$ 项，前 $i - 1$ 项都取为0．试找到数列 $\{t_{n}^{(i)}\}$ ，使得 $\{t_{n}^{(i)}\} \cdot \{a_{n}\} = T_{i} \{a_{n}\}$ ；

(3)、若 $a_{n} = n$ ， $\{a_{n}\} * \{b_{n}\} = \{c_{n}\}$ ，证明：当 $n \geq 3$ 时， $b_{n} = c_{n} - 2 c_{n - 1} + c_{n - 2}$ ．

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