人教版数学九年级全册知识点训练营——二次函数与一元二次方程

试卷更新日期：2024-10-22 类型：复习试卷

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一、夯实基础

1. 如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是 $y = - \frac{1}{9} (x - 9) (x + 2)$ $，$ 则铅球被推出的水平距离 $O A$ 为 m．

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2. 如图，抛物线 $y = a x^{2}$ 与直线 $y = b x + c$ 的两个交点坐标分别为 $A (- 3, 9)$ ， $B (1, 1)$ ，则关于x的方程 $a x^{2} - b x - c = 0$ 的解为．

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二、能力提升

3. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的对称轴是直线 $x = 1$ ，其部分图象如图所示，下列说法中错误的是（）

A、 $a b c < 0$ B、 $a - b + c < 0$ C、当 $- 1 < x < 3$ 时， $y > 0$ D、 $b^{2} - 4 a c > 0$

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4. 已知 $P (x_{1} ， 1)$ ， $Q (x_{2} ， 1)$ 两点都在抛物线 $y = x^{2} - 3 x + 1$ 上，那么 $x_{1} + x_{2} =$ ．

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5. 在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a ， b ， c是常数，a＞0）的部分图象如图所示，直线x=1是它的对称轴．若一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根x₁的取值范围是2＜x₁＜3，则它的另一个根x₂的取值范围是．

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6. 已知抛物线y＝x²﹣2mx+m²﹣1（m是常数）．

(1)、若抛物线y＝x²﹣2mx+m²﹣1的顶点在直线y＝2x上，求该抛物线的解析式；

(2)、若抛物线y＝x²﹣2mx+m²﹣1与x轴的两个交点分别为（x₁ ， 0），（x₂ ， 0）且 ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = 4$ ，求m的值．

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三、拓展创新

7. 二次函数. $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 中，自变量x与函数y的对应值如下表：
x
…·
-2
-1
0
1
2
3
4

y
…
m-4.5
m-2
m-0.5
m
m-0.5
m-2
m-4.5
··
若1<m<1.5，则下面叙述正确的是（）

A、该函数图象开口向上 B、该函数图象与y轴的交点在x轴的下方 C、对称轴是直线x=m D、若x₁是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的正数解，则x₁<3

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8. 如图是抛物线 $y_{1} = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象的一部分，抛物线的顶点是A，对称轴是直线 $x = 1$ ，且抛物线与x轴的一个交点为 $B (4, 0)$ ；直线AB的解析式为 $y_{2} = m x + n (m \neq 0)$ ，下列结论：① $2 a + b = 0$ ；② $a b c > 0$ ；③方程 $a x^{2} + b x + c = m x + n$ 有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是 $(- 1, 0)$ ；⑤当 $1 < x < 4$ 时，则 $y_{1} > y_{2}$ ，其中正确的是（）

A、①② B、①③⑤ C、①④ D、①④⑤

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9. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 为常数， $c < 0)$ 经过 $(1 ， 1)$ ， $(m ， 0)$ ， $(n ， 0)$ 三点，且 $n ≥ 3$ .
下列四个结论：① $b < 0$ ；② $\frac{4 a c - b^{2}}{4 a} > 1$ ；③当 $n = 3$ 时，若点 $(2 ， t)$ 在该抛物线上，则 $t > 1$ ；④若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = x$ 有两个相等的实数根，则 $0 < m ≤ \frac{1}{3}$ .
其中正确的是（填序号即可）.

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10. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的大致图象如图所示，顶点坐标为 $(- 2 ， - 9 a)$ ，下列结论：
① $a b c > 0$ ；② $16 a - 4 b + c < 0$ ；③若方程 $a x^{2} + b x + c = - 1$ 有两个根 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $- 5 < x_{1} < x_{2} < 1$ ；④ $a^{2} + a b + c$ c的最小值为 $- \frac{5}{4}$ .其中正确结论的是.

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11. 对于实数a，b，定义运算“*”： $a*b = a^{2} － ab (a \leq b)$ ； $a*b = b^{2} － ab (a > b)$ ，关于x的方程 $(2 x － 1) * (x － 1) = m$ 恰好有三个不相等的实数根，则m的取值范围是．

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12. 若定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数” $y = x + 1$ ，其“明德点”为 $(1 ， 2)$ .

(1)、①判断：函数 $y = 2 x + 3$ “明德函数”（填“是”或“不是”）；
②函数 $y = x^{2}$ 的图像上的明德点是；

(2)、若抛物线 $y = (m - 1) x^{2} + m x + \frac{1}{4} m$ 上有两个“明德点”，求 $m$ 的取值范围；

(3)、若函数 $y = x^{2} + (m - k + 2) x + \frac{n}{4} - \frac{1}{2} k$ 的图象上存在唯一的一个“明德点”，且当 $- 1 \leq m \leq 3$ 时， $n$ 的最小值为 $k$ ，求 $k$ 的值.

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x	…·	-2	-1	0	1	2	3	4
y	…	m-4.5	m-2	m-0.5	m	m-0.5	m-2	m-4.5	··