广东省珠海市第二中学2023-2024学年高一下学期第二阶段考试数学试题

试卷更新日期：2024-05-27 类型：期中考试

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一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知复数 $z$ 满足 $\frac{z - 1}{1 + 2 i} = \frac{2}{i}$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 5 - 2 i$ B、 $5 - 2 i$ C、 $- 5 + 2 i$ D、 $5 + 2 i$

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2. 如图是水平放置的 $△ A B C$ 的直观图， $D^{'}$ 是 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 中 $B^{'} C^{'}$ 边的中点， $∠ A^{'} D^{'} C^{'} = 45 °, A^{'} B^{'}, A^{'} D^{'}, A^{'} C^{'}$ 三条线段对应原图形中的线段 $A B, A D, A C$ ，那么（）

A、最短的是 $A C$ B、最短的是 $A B$ C、最短的是 $A D$ D、无法确定谁最短

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3. 将一个圆台的侧面展开，得到的扇环的内弧长为 $4 π$ ，外弧长为 $8 π$ ，若该圆台的体积为 $\frac{28 \sqrt{5} π}{3}$ ，则圆台的母线长为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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4. 设 $α \in (0 ， \frac{π}{2}) ， β \in (0 ， \frac{π}{2} ）$ ，且 $tan α = \frac{1 +sin β}{cos β}$ ，则（）

A、 $3 α - β = \frac{π}{2}$ B、 $3 α + β = \frac{π}{2}$ C、 $2 α - β = \frac{π}{2}$ D、 $2 α + β = \frac{π}{2}$

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5. 下列命题正确的为（）

A、已知 $a, b, c$ 为三条直线，若 $a, b$ 异面， $b, c$ 异面，则 $a, c$ 异面 B、已知 $a, b, c$ 为三条直线，若 $a ⊥ c, b ⊥ c$ ，则 $a / / b$ C、底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 D、若 $△ A B C$ 在平面 $α$ 外，它的三条边所在的直线分别交 $α$ 于 $P, Q, R$ ，则 $P, Q, R$ 三点共线

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6. 如图圆 $O$ 中若 $B A = 4, B C = 5$ ，则 $\vec{B O} \cdot \vec{A C}$ 的值等于（）

A、 $- \frac{9}{2}$ B、3 C、 $\frac{9}{2}$ D、-3

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7. 如图，在四面体 $A B C D$ 中， $A B = C D = \sqrt{2}$ ， $A C = A D = B C = B D = \sqrt{5}$ ，若用一个与 $A B$ ， $C D$ 都平行的平面 $α$ 截该四面体，下列说法中错误的（）

A、异面直线 $A B$ 与 $C D$ 所成的角为90° B、平面 $α$ 截四面体 $A B C D$ 所得截面周长不变 C、平面 $α$ 截四面体 $A B C D$ 所得截面不可能为正方形 D、该四面体的外接球半径为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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8. $△ A B C$ 中， $b = 2$ ， $b = 2 c \cdot \cos (B + C)$ ，当 $B$ 取最大值时， $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 对于 $△ A B C$ 中，有如下判断，其中正确的判断是（）.

A、若 $a = 8$ ， $c = 10$ ， $A = 60 °$ ，则符合条件的 $△ A B C$ 有两个 B、若 $\sin^{2} A + \sin^{2} B > \sin^{2} C$ ，则 $△ A B C$ 是锐角三角形 C、若 $a = 2$ ， $A = 60 °$ ，则当 $△ A B C$ 周长最大时， $△ A B C$ 面积为 $\sqrt{3}$ D、若点P在 $△ A B C$ 所在平面且 $\vec{O P} = \frac{\vec{O B} + \vec{O C}}{2} + λ (\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}| \cos B} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}| \cos C})$ ， $λ \in [0, + \infty)$ ，则点P的轨迹经过 $△ A B C$ 的外心.

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10. 函数 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ 的部分图象如图中实线所示，图中圆 $C$ 与 $f (x)$ 的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期是 $2 π$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{4 π}{3}, 0)$ 成中心对称 C、函数 $f (x)$ 在 $(- \frac{5 π}{12}, - \frac{π}{6})$ 单调递增 D、函数 $f (x)$ 的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移 $\frac{π}{3}$ 后关于 $y$ 轴对称.

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11. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段 $C C_{1}$ 上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（）

A、当 $0 < C Q < \frac{1}{2}$ 时，S为四边形 B、当 $C Q = \frac{1}{2}$ 时，S为等腰梯形 C、当 $C Q = \frac{3}{4}$ 时，S与 $C_{1} D_{1}$ 的交点 $R_{1}$ ，满足 $C_{1} R_{1} = \frac{1}{3}$ D、当 $\frac{3}{4} < C Q < 1$ 时，S为四边形

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 方程 $x^{2} + 4 x + 6 = 0$ 在复数范围内的解是．

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13. 已知A，B，C三点都在表面积为100π的球O的表面上，若 $A B = 4 \sqrt{3}$ ， $∠ A C B = 60 °$ ，则球心O到平面ABC的距离等于．

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14. 如图，在边长为2的菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $\vec{B P} = \frac{2}{3} \vec{B D}$ ，点Q是 $△ B C D$ 内部（包括边界）的一动点，则 $\vec{A P} \cdot \vec{B Q}$ 的取值范围是.

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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应给出文字说明、证明过程或验算步骤）

15. 已知向量 $\vec{a} = (2 cos θ, sin θ)$ ， $\vec{b} = (1, - 2)$

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求 $\frac{3 \sin θ - 2 \cos θ}{2 \sin θ + \cos θ}$ 的值；

(2)、若 $θ = 90 °$ ，求向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标．

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16. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长是 $1$ .

(1)、求证： $B_{1} D ⊥$ 平面 $A C D_{1}$ ；

(2)、求直线 $D D_{1}$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的正弦值.

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17. 函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + \sin^{2} x - \cos^{2} x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递减区间；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象先向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），得到函数 $g (x)$ 的图象．当 $x \in [0, \frac{π}{4}]$ 时，求函数 $g (x)$ 的值域．

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18. 如图在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边， $D$ 是边 $A B$ 上的一点.

(1)、若 $b = \sqrt{2} a = 4$ ， $∠ A C D = \frac{π}{3}$ ， $∠ B C D = \frac{π}{4}$ ， $C D = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

(2)、试利用“ $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ ”证明：“ $c \cos B + b \cos C = a$ ”；

(3)、已知 $c \cos B + b \cos C = 2 a \cos C$ ， $C D$ 是 $∠ A C B$ 的角平分线，且 $C D = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ， $c = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 如图1，等腰 $△ A F A_{1}$ 中， $F A = F A_{1} = 5$ ， $A A_{1} = 8$ ，点 $B$ ， $C$ ， $D$ 为线段 $A A_{1}$ 的四等分点，且 $B E / / C F / / D G$ .现沿 $B E$ ， $C F$ ， $D G$ 折叠成图2所示的几何体，使 $∠ B C D = 60 °$ .

(1)、证明： $A E / /$ 平面 $D C F G$ ；

(2)、求几何体 $B C D - E F G$ 的体积.

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