浙江省强基联盟2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-06-03 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = \{x | |x| < 3\}, B = \{x \in N ∣ x^{2} < 11\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{1, 2\}$

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2. 双曲线 $E : \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{36} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{4} x$ B、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ C、 $y = \pm 2 x$ D、 $y = \pm 4 x$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (3, m)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 4$ B、 $4$ C、 $- 6$ D、 $6$

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4. $i$ 为虚数单位，则 $1 + i + i^{2} + i^{3} + ⋯ + i^{2024} =$ （）

A、 $- i$ B、i C、-1 D、1

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5. 已知正数x，y满足 $x + y = 2$ ，则 $x^{2} + y^{2} - x y$ 的取值范围是（）

A、[1，4] B、[0，4] C、 $[1, 4)$ D、 $[1, 3)$

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6. 圆台的上底面面积为 $π$ ，下底面面积为 $9 π$ ，母线长为4，则圆台的侧面积为（）

A、 $10 π$ B、 $20 π$ C、 $8 π$ D、 $16 π$

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7. 对于数列 ${a_{n}}$ ，设甲： ${a_{n}}$ 为等差数列，乙： $a_{1} + (n - 1) a_{n + 1} = n a_{n}$ ，则甲是乙的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 袋子中装有5张编号分别为1，2，3，4，5的卡片，从袋子中随机选择3张卡片，记抽到的3张卡片编号之和为 $S$ ，编号之积为 $T$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $S$ 是3的倍数的概率为0.4 B、 $S$ 是3的倍数的概率为0.6 C、 $T$ 是3的倍数的概率为0.2 D、 $T$ 是3的倍数的概率为0.8

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 若直线 $y = k x$ 与圆 $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$ 相交于A，B两点，则|AB|的长度可能等于（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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10. 已知 $α, β \in R$ ，则下列等式成立的是（）

A、 $\cos (α + β) \cdot \cos (α - β) = \cos^{2} α - \cos^{2} β$ B、 $\cos (α + β) \cdot \cos (α - β) = \cos^{2} α - \sin^{2} β$ C、 $\sin (α + β) \cdot \sin (α - β) = \cos^{2} α - \sin^{2} β$ D、 $\sin (α + β) \cdot \sin (α - β) = \sin^{2} α - \sin^{2} β$

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11. 下列定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 中，满足 $\forall x \in (0, + \infty), f (x) + f (\frac{1}{x}) \geq 2 f (1)$ 的有（）

A、 $f (x) = \sqrt{x}$ B、 $f (x) = \frac{x}{1 + x^{2}}$ C、 $f (x) = \cos π x$ D、 $f (x) = e^{x}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. ${(x + 2 y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3} y^{2}$ 的系数为．

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13. 已知过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点 $A$ 作直线 $l$ 交 $y$ 轴于点 $M$ ，交椭圆于点 $N$ ，若 $△ A O M$ 是等腰三角形，且 $| M N | = 2 | N A |$ ，则椭圆的离心率为．

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14. 若不等式 $x y + y^{2} + z^{2} \geq k (x + y) z$ 对任意满足 $y + z \geq x$ 的正实数x，y，z均成立，则实数 $k$ 的最大值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知函数 $f (x) = x^{2}, g (x) = e^{x}$ ．

(1)、求函数 $y = f (x) + g (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $y = \frac{f (x)}{g (x)}$ 的单调区间和极值．

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16. 已知盒中有2个黑球和2个白球，每次从盒中不放回地随机摸取1个球，只要摸到白球就停止摸球．

(1)、求摸球三次后刚好停止摸球的概率；

(2)、记摸球的次数为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列和期望．

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17. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E$ 为侧棱 $B B_{1}$ 的中点．

(1)、求证：平面 $A_{1} E C ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ．

(2)、若 $A A_{1} = A_{1} B_{1}$ ，求平面 $A_{1} E C$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 所成二面角的大小．

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18. 如图，抛物线 $Γ : y^{2} = 2 p x (p > 0), M (2, 1)$ 是抛物线内一点，过点 $M$ 作两条斜率存在且互相垂直的动直线 $l_{1}, l_{2}$ ，设 $l_{1}$ 与抛物线 $Γ$ 相交于点 $A, B, l_{2}$ 与抛物线 $Γ$ 相交于点 $C$ ， $D$ ，当 $M$ 恰好为线段 $A B$ 的中点时， $| A B | = 2 \sqrt{6}$ ．

(1)、求抛物线 $Γ$ 的方程；

(2)、求 $\vec{A C} \cdot \vec{D B}$ 的最小值．

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19. 对于正整数m，n，存在唯一的自然数a，b，使得 $m = a n + b$ ，其中 $a \in N, 0 \leq b < n, b \in N$ ，我们记 $a = D (m, n), b = M (m, n)$ ．对任意正整数 $i$ ，定义 $i$ 的生成数列为 $\{T {(i)}_{n}\}$ ，其中 $T {(i)}_{n} =$ $\frac{M (i, 3^{n}) - M (i, 3^{n - 1})}{3^{n - 1}}$ ．

(1)、求 $D (2024, 9)$ 和 $M (2024, 9)$ ．

(2)、求 $\{T {(100)}_{n}\}$ 的前3项．

(3)、存在 $n_{0}$ ，使得 $T {(i)}_{n_{0}} \neq 0$ ，且对任意 $n > n_{0}, T {(i)}_{n} = 0$ 成立．考虑 $T {(i)}_{n_{0}}$ 的值：当 $T {(i)}_{n_{0}} = 1$ 时，定义数列 $\{T {(i)}_{n}\}$ 的变换数列 $\{T^{'} {(i)}_{n}\}$ 的通项公式为 $T^{'} {(i)}_{n} = \{\begin{array}{l} 2, n = n_{0}, \\ T {(i)}_{n}, n \neq n_{0} . \end{array}$ 当 $T {(i)}_{n_{0}} = 2$ 时，定义数列 $\{T {(i)}_{n}\}$ 的变换数列 $\{T^{'} {(i)}_{n}\}$ 的通项公式为 $T^{'} {(i)}_{n} = \{\begin{cases} 1, n = n_{0} + 1, \\ T {(i)}_{n - 1}, 1 < n \leq n_{0}, \\ 0, n = 1 或 n > n_{0} + 1. \end{cases}$ 若数列 $\{T^{'} {(i)}_{n}\}$ 和数列 $\{T {(j)}_{n}\}$ 相同，则定义函数 $f (i) = j$ ，其中函数 $f (i)$ 的定义域为正整数集．
（ⅰ）求证：函数 $f (i)$ 是增函数．
（ⅱ）求证： $f (f (i)) = 3 i$ ．

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