浙江省三锋教研联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题

试卷更新日期：2024-04-24 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 函数 $y = x^{3} + x$ 在点 $A (1, 2)$ 处的切线方程（）

A、 $y = 4 x + 2$ B、 $y = 4 x - 2$ C、 $y = - 4 x + 2$ D、 $y = - 4 x - 2$

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2. 已知 $t a n α = 3, α \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $c o s (α + \frac{π}{2})$ 的值为（）

A、 $- \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ C、 $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$

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3. 已知今天是星期三，则经过 $6^{11} - 3$ 天后是（）

A、星期四 B、星期五 C、星期六 D、星期日

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4. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A = \frac{π}{3}, A B = 4, B C = a$ ，且满足该条件的 $△ A B C$ 有两个，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(2, 2 \sqrt{3})$ C、 $(2, 4)$ D、 $(2 \sqrt{3}, 4)$

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5. 某校高二数学期末考试成绩 $X$ 近似服从正态分布 $N (95, σ^{2})$ ，且 $P (80 < X < 110) = 0.68$ ，已知该校高二数学期末考试成绩超过80分的人数有420人，则（）

A、估计该校高二学生人数为520. B、估计该校高二学生中成绩不超过95分的人数为280. C、估计该校高二学生中成绩介于80到95分之间的人数为170. D、在该校高二学生中任取1人，其成绩低于70分的概率大于超过120分的概率.

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6. 由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”——科学点燃青春：未来科学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的方式举行.现有某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至多派两名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（）

A、60种 B、90种 C、150种 D、180种

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7. 若函数 $f (x) = 2 s i n (2 ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在区间 $(0, π)$ 恰存在三个零点，两个最值点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{7}{6}, \frac{17}{12}]$ B、 $[\frac{11}{12}, \frac{7}{6})$ C、 $[\frac{11}{12}, \frac{7}{12})$ D、 $[\frac{7}{6}, \frac{5}{3})$

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8. 已知函数 $y = e^{x} - 2 a s i n x$ 在 $x \in (0, π)$ 上有且仅有一个零点，则实数 $a$ 的取值为（）

A、 $\sqrt{2} e^{\frac{π}{4}}$ B、 $\sqrt{2} e^{- \frac{π}{4}}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{π}{4}}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2} e^{- \frac{π}{4}}$

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二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）

9. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $f (- \frac{2 π}{3}) = \sqrt{2}$ B、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{6})$ 单调递减 C、函数 $y = f (x - \frac{π}{12})$ 的图象关于 $y$ 轴对称 D、若 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| = 4$ ，则 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$

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10. 某中药材盒中共有包装相同的7袋药材，其中党参有3袋，黄芪有4袋，从中取出两袋，下列说法正确的是（）

A、若有放回抽取，则取出一袋党参一袋黄芪的概率为 $\frac{24}{49}$ B、若有放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，第2次取出党参的概率为 $\frac{7}{11}$ C、若不放回抽取，则第2次取到党参的概率算法可以是 $\frac{C_{4}^{1} C_{3}^{1} + C_{3}^{2}}{C_{7}^{2}}$ D、若不放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，取到一袋党参一袋黄芪的概率为 $\frac{4}{5}$

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11. 已知 $f (x) = {(2 x - 3)}^{n} (n \in N^{*})$ 展开式的二项式系数和为 $512$ ， $f (x) = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + ... + a_{n} {(x - 1)}^{n}$ ，下列选项正确的是（）

A、 $a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} = 1$ B、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + ... + n a_{n} = 18$ C、 $a_{2} = 144$ D、 $|a_{0}| + |a_{1}| + ... + |a_{n}| = 3^{9}$

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12. 对于函数 $f (x) = \frac{x}{l n x}$ ，下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的单调递减区间为 $(0, 1)$ 和 $(1, e)$ B、当 $0 < x_{1} < x_{2} < 1$ 时， $x_{1} l n x_{2} < x_{2} l n x_{1}$ C、若方程 $| f (| x |) | = k$ 有6个不等实数根，则 $k > e$ D、设 $g (x) = x^{2} + a$ ，若对 $\forall x_{1} \in R, \exists x_{2} \in (1, + \infty)$ ，使得 $g (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立，则 $a \geq e$

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三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）

13. 已知随机变量 $X, Y$ 满足 $2 X + Y = 4$ ，若 $X ∼ B (9, \frac{1}{3})$ ，则 $D (Y) =$ .

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14. 已知函数 $f (x)$ 导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) = s i n x + f^{'} (\frac{π}{2}) x^{2}$ ，则 $f (\frac{π}{2}) =$ .

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15. 小明的生日是07年10月27日，他打算从 $0, 7, 1, 0, 2, 7$ 这六个数字的所有不同排列中任选一种设置为自己的6位数手机密码，其中数字1，2不相邻，则他可设置的密码有种.

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16. 人间四月天，正是春游好时节.某学校组织高二学生去远足，该远足路线会经过一处瀑布.有一个学生为了测量该瀑布的实际高度，记录了如下测量数据：先沿一段水平山道步行至与瀑布底端在同一水平面时，在此位置测得瀑布顶端的仰角正切值为 $\frac{5}{4}$ ，沿着山道继续走 $20 m$ ，测得瀑布顶端仰角正切值为 $\frac{5 \sqrt{3}}{6}$ ，已知该同学沿山道行进方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成的角为 $\frac{π}{3}$ .根据该同学的测量数据，可知该瀑布的高度为.

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四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）

17. 已知 ${(x - \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，第二项系数与第三项系数之比为 $- \frac{4}{7}$ ，

(1)、求展开式中二项式系数最大的项；

(2)、求展开式中所有的有理项.

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18. 已知函数 $f (x) = a l n x + \frac{1}{2} x^{2}$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $a < 0$ ，且函数 $f (x)$ 在 $x \in [1, e]$ 上的最大值为 $e$ ，求 $a$ 的值.

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19. 袋中有大小相同的小球10个，其中黑球3个，红球 $n$ 个，白球 $(7 - n)$ 个， $n \in N^{*}$ .从中任取2个球，至少有1个红球的概率为 $\frac{7}{9}$ .

(1)、任取3球，求取出的球中恰有2球同色的概率；

(2)、任取2球，取到1个红球得2分，取到1个白球得0分，取到1个黑球得 $- 1$ 分，求总得分 $X$ 的概率分布列及数学期望 $E (X)$ .

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20. 已知锐角 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ ，所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a c o s (B - C) - a c o s (B + C) = 2 \sqrt{3} c s i n B c o s A$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长的取值范围.

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21. 某校团委组织学生开展了“全民迎亚运，学习当达人”知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了100名，竞赛成绩（单位：分）分布如下：
成绩（分）
$[50, 60)$
$[60, 70)$
$[70, 80)$
$[80, 90)$
$[90, 100]$
人数
6
28
30
32
4

(1)、求抽取的100名学生竞赛成绩的平均分 $\bar{x}$ （同一组中数据用该组区间的中点值代替）；

(2)、在参加该活动的学生中随机选取5名学生，求选取的5名学生中恰有3名学生竞赛成绩在区间 $[60, 70) \cup [80, 90)$ 内的概率；

(3)、以频率估计概率，发现参赛学生竞赛成绩 $X$ 近似地服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均分 $\bar{x}, σ^{2}$ 近似为样本方差 $S^{2}$ ，按比例前 $16 %$ 的参赛学生可获得“学习达人”称号，已知甲同学竞赛成绩86分，试问他能否获得“学习达人”称号.
参考数据：若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ，
$P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545, P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ .

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22. 已知函数 $f (x) = l n x - \frac{1}{2} m x - 1$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的零点个数；

(2)、若函数 $g (x) = x f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，证明： $x_{1} \cdot x_{2} > e^{2}$ .

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成绩（分）	$[50, 60)$	$[60, 70)$	$[70, 80)$	$[80, 90)$	$[90, 100]$
人数	6	28	30	32	4