有理数的乘方运算—北师大版数学七（上）知识点训练

试卷更新日期：2024-10-20 类型：复习试卷

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一、基础夯实

1. 定义一种新运算： $a ※ b = b^{2} - a b$ ，如： $2 ※ 3 = 3^{2} - 2 \times 3 = 3$ ，则计算 $- 1 ※ 2$ 的结果为（）

A、6 B、3 C、2 D、－1

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2. 某药厂生产了一批新药，装箱后存放在仓库中，为了方便清点，按 $10 \times 10 \times 10$ 箱一堆的方式摆放，共摆放了 $10$ 堆，已知每箱装 $100$ 瓶药，每瓶药装 $100$ 片．
$(1)$ 这批药共有多少箱？
$(2)$ 这批药共有多少片？

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二、能力提升

3. 为了使 $[9 - (12 ○ 3)^{2}] \times 3$ 的计算结果是－21，那么在○中填入的运算符号是（）

A、 $+$ B、 $-$ C、 $\times$ D、 $\div$

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4. 一个数的立方等于它本身，这个数是

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5. 定义一种新运算： $a * b = a^{2} - b + a b .$ 例如： $(- 1) * 3 = (- 1)^{2} - 3 + (- 1) \times 3 = - 5$ ，则 $4 * [2 * (- 3)] =$ ．

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6. 在有理数的原有运算法则中我们补充定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b=b²；当a<b时，a⊕b=a．则当x=3时，(1⊕x)⋅x-(4⊕x)的值为．（“⋅”和“－”仍为有理数运算中的乘号和减号）．

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7. 用“ $\otimes$ ”定义一种新运算：对于任意有理数 $a$ 和 $b$ ，规定 $a \otimes b = a b^{2} + 4 a b + a$ ．
如： $1 \otimes 2 = 1 \times 2^{2} + 4 \times 1 \times 2 + 1 = 13$ ．

(1)、求 $2 \otimes (- 5)$ 的值

(2)、若 $\frac{2 a - 1}{3} \otimes 3 = \frac{11}{3}$ ，求 $a$ 的值；

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三、拓展创新

8. 按规律1，8，27，（　　），125、216的规律排，括号里的数应为（）.

A、30 B、64 C、80 D、100

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9. 计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制，只需将该数写为若干个2ⁿ的数字之和，依次写出1或0的系数即可，如十进制数字19可以写为二进制数字10011，因为19=16+2+1=1×2⁴+0×2³+0×2²+1×2¹+1×2⁰ ， 32可以写为二进制数字100000，因为32＝32＝1×2⁵+0×2⁴+0×2³+0×2²+0×2¹+0×2⁰ ，则十进制数字70是二进制下的（）

A、4位数 B、5位数 C、6位数 D、7位数

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10. 观察下列解题过程：
计算 $1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + \dots \dots + 3^{24} + 3^{25}$ 的值.
解：设 $A = 1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + \dots \dots + 3^{24} + 3^{25}$ ①，
则 $3 A = 3 + 3^{2} + 3^{3} + \dots \dots + 3^{24} + 3^{25} + 3^{26}$ ②，
由②-①，得 $2 A = 3^{26} - 1$
即 $A = \frac{3^{26} - 1}{2}$ ，
所以 $1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + \dots \dots + 3^{24} + 3^{25} = \frac{3^{26} - 1}{2}$ .
通过阅读材料，请你用学到的方法计算：

(1)、 $1 + 4 + 4^{2} + 4^{3} + \dots \dots + 4^{29} + 4^{30}$

(2)、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \dots \dots + \frac{1}{2^{99}} + \frac{1}{2^{100}}$

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11. 阅读材料，解决下列问题：
【阅读材料】求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，记为 $a^{n}$ ．若 $10^{n} = m$ （ $n > 0$ ， $m \neq 1$ ， $m > 0$ ），则n叫做以10为底m的对数，记作： $\lg m = n$ ．如： $10^{4} = 10000$ ，此时，4叫做以10为底10000的对数，记作： $\lg 10000 = \lg 10^{4} = 4$ ，（规定 $\lg 10 = 1$ ）．

(1)、【解决问题】计算： $\lg 100 =$ ______； $\lg 1000 =$ ______； $\lg 100000 =$ ______； $\lg 10^{20} =$ ______；

(2)、【解决问题】计算： $\lg 10 + \lg 100 + \lg 1000 + \cdot \cdot \cdot + \lg 10^{10}$ ；

(3)、【拓展应用】由（1）知： $\lg 100 + \lg 1000$ 与 $\lg 100000$ 之间的数量关系为：______；猜想： $\lg a + \lg b =$ ______（ $a > 0$ ， $b > 0$ ）．

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