有理数的乘除运算—北师大版数学七（上）知识点训练

试卷更新日期：2024-10-20 类型：复习试卷

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一、基础夯实

1. 有理数 $a 、 b$ 在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（）

A、 $b < a$ B、 $a b > 0$ C、 $a + b > 0$ D、 $a - b < 0$

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2. 如图是一个简单的数值运算程序，当输入的值为-3时，输出的值为（）

A、6 B、-6 C、4 D、-4

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3. $- \frac{5}{7}$ 的倒数为，相反数为，绝对值是．

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4. 合理灵活地计算下面各题。
$360 \div 60 + 4.8 \times 1.5$
$0.25 \times 1.25 \times 32$
$56 \times (\frac{3}{8} + \frac{2}{7} - \frac{1}{4})$

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5. 随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家中买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程(如下表)，以50km为标准，多于50km的记为“＋”，不足50km的记为“－”，刚好50km的记为“0”．

(1)、请求出这七天平均每天行驶多少千米；

(2)、若每行驶100km需用汽油6升，汽油价6.2元/升，请估计小明家一个月(按30天计)的汽油费用是多少元？

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二、能力提升

6. 若干个不等于0的有理数相乘，积的符号( )

A、由因数的个数决定 B、由正因数的个数决定 C、由负因数的个数决定 D、由负因数和正因数个数的差为决定

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7. 复习了分数、整数和小数的运算后，同学们有了以下一些想法，下列想法中错误的是（）。

A、计算 $2 \div \frac{2}{5}$ 时，可以根据商不变的性质： $2 \div \frac{2}{5} = (2 \times \frac{5}{2}) \div (\frac{2}{5} \times \frac{5}{2}) = 2 \times \frac{5}{2} = 5$ 。 B、计算 $\frac{2}{5} \times \frac{3}{7}$ 时，可以这样计算： $\frac{2}{5} \times \frac{3}{7} = (2 \times \frac{1}{5}) \times (3 \times \frac{1}{7}) = (2 \times 3) \times (\frac{1}{5} \times \frac{1}{7}) = \frac{6}{35}$ 。 C、计算 $24 \times 12$ 时，可以这样计算： $24 \times 12 = 4 \times 12 + 20 \times 12 = 288$ 。 D、计算 $5.6 \times 3.2$ 时，可以这样计算： $5.6 \times 3.2 = 5 \times 3 + 0.6 \times 3 + 0.6 \times 0.2 = 16.92$ 。

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8. 在数4、 $- 6$ 、3、 $- 2$ 、1中，任意取3个不同的数相乘，其中乘积最大是．

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9. 学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算 $49 \frac{24}{25} \times (- 5)$ ，看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下：
聪聪：原式＝ $- \frac{1249}{25} \times 5 = - \frac{1249}{5} = - 249 \frac{4}{5}$ ；
明明：原式＝ $(49 + \frac{24}{25}) \times (- 5)$ ＝ $49 \times (- 5) + \frac{24}{25} \times (- 5) = - 249 \frac{4}{5}$ ，

(1)、对于以上两种解法，你认为谁的解法更简便？

(2)、睿睿认为还有一种更好的方法，请你仔细思考，把它写出来．

(3)、用你认为最合适的方法计算： $36 \frac{15}{16} \times (- 8)$ ．

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10. 阅读下列材料，计算： $50 \div (\frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{12})$ ．
解法1：原式 $= 50 \div \frac{1}{3} - 50 \div \frac{1}{4} + 50 \div \frac{1}{12} = 50 \times 3 - 50 \times 4 + 50 \times 12 = 550$ ．
解法2：原式的倒数 $= (\frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{12}) \div 50 = \frac{1}{3} \times \frac{1}{50} - \frac{1}{4} \times \frac{1}{50} + \frac{1}{12} \times \frac{1}{50} = \frac{1}{300}$ ，故原式 $= 300$ ．

(1)、以上两种解法中，解法________(填1或2)是正确的；

(2)、请你计算： $(1 \frac{3}{4} - \frac{7}{8} - \frac{7}{12}) \div (- \frac{7}{8}) + (- \frac{7}{8}) \div (1 \frac{3}{4} - \frac{7}{8} - \frac{7}{12})$ ．

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三、拓展创新

11. 规定：将求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做“除方”，如 $2 \div 2 \div 2$ ， $(- 3) \div (- 3) \div (- 3) \div (- 3)$ 等．类比有理数的乘方，我们把 $2 \div 2 \div 2$ 记作 $2^{③}$ ，读作“2的圈3次方”；把 $(- 3) \div (- 3) \div (- 3) \div (- 3)$ 记作 $- 3^{④}$ ，读作“ $- 3$ 的圈4次方”．一般地，把 $a \div a \div ⋯ \div a \div a (a \neq 0)$ 记作 $a^{∘}$ ，读作“ $a$ 的圈 $c$ 次方”．关于“除方”，下列说法中错误的是（）．

A、任何非零数的圈2次方都等于1 B、对于任何正整数 $a$ ，都有 $a^{④} = {(\frac{1}{a})}^{2}$ C、 $3^{④} = 4^{④}$ D、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶次方结果是正数

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12. 观察下列等式： $\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2} ， \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ， \frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ，将以上三个等式两边分别相加得： $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ ．应用计算：
$\frac{1}{1 \times 4} + \frac{1}{4 \times 7} + \frac{1}{7 \times 10} + \frac{1}{10 \times 13} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{298 \times 301} =$ ．

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13. 已知 $a$ 是不为 $1$ 的有理数，我们把 $\frac{1}{1 - a}$ 称为 $a$ 的差倒数．如： $2$ 的差倒数是 $\frac{1}{1 - 2} = - 1$ ， $3$ 的差倒数是 $\frac{1}{1 - 3} = - \frac{1}{2}$ ．现在已知 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{2}$ 是 $a_{1}$ 的差倒数， $a_{3}$ 是 $a_{2}$ 的差倒数， $a_{4}$ 是 $a_{3}$ 的差倒数…… $a_{2025}$ 是 $a_{2024}$ 的差倒数．

(1)、分别求出 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ 的值；

(2)、根据（1）的计算结果规律，计算 $a_{2023} + a_{2024} + a_{2025}$ 的结果；

(3)、计算： $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{2023} + a_{2024} + a_{2025}$ ．

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