绝对值的化简—北师大版数学七（上）知识点训练

试卷更新日期：2024-10-20 类型：复习试卷

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一、基础夯实

1. 有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则 $| a - b | + | b - a |$ 化简后为（）

A、 $2 a - 2 b$ B、 $2 b - 2 a$ C、0 D、 $- 2 b$

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2. $| - 2023 |$ 的倒数是（）

A、2023 B、 $\frac{1}{2023}$ C、 $- 2023$ D、 $- \frac{1}{2023}$

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3. 已知a，b，c是三个有理数，它们在数轴上的位置如图所示，化简|c+a|+|a-b|+|b-c|得（　　）

A、2c-2b B、-2c C、2a D、-2b

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4. 如图，数轴上的点A所表示的数为a，化简 $| a | + | a - 4 | - | a - 1 |$ 的结果为（）

A、 $- a + 5$ B、 $3 - a$ C、 $3 a - 3$ D、 $a + 5$

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5. 有理数a ， b在数轴上如图所示，则化简 $| 2 a | - | b | + | 2 a - 5 |$ 的结果是（）.

A、 $4 a + b - 5$ B、 $4 a - b - 5$ C、 $b + 5$ D、 $- b - 5$

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6. $|\frac{1}{3} - \frac{1}{2}| + |\frac{1}{4} - \frac{1}{3}| + |\frac{1}{5} - \frac{1}{4}| + \cdot \cdot \cdot + |\frac{1}{10} - \frac{1}{9}|$ 的值是（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- \frac{2}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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7. 已知x是整数，且 $| x | < 2$ ，则 $x =$ ．

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8. 若 $- 2 < x < 2$ ，则 $| x - 2 | + | 2 + x | =$ ．

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9. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示．

(1)、比较大小：a+b 0；b﹣c 0；c﹣a 0．（直接在横线上填“＞”，“＝”，“＜”中的一个）；

(2)、化简：|a+b|﹣|b﹣c|+2|c﹣a|．

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二、能力提升

10. 已知a、b为有理数，且b＞0，则 $\frac{| a |}{a} + \frac{| b |}{b} + \frac{| a b |}{a b}$ 的值是（　　）

A、3 B、﹣1 C、﹣3 D、3 或﹣1

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11. 有理数a ， b ， c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的有（）
① $a b c > 0$ ；② $a + c < b$ ；③ $\frac{| a |}{a} + \frac{| b |}{b} + \frac{| c |}{c} = - 1$ ；④ $b < c < - a < 0 < a < - c < - b$ ．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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12. 已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 都为整数，且满足 $| a - b |^{2023} + | b - c |^{2024} = 1$ ，则 $| a - b | + | b - c | - | a - c |$ 的结果为（）

A、0 B、0或1 C、1 D、1或2

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13. 已知a ， b都是有理数，且满足 $\frac{| a |}{a} + \frac{| b |}{b} = 0$ ，那么 $| a b | + a b =$ ．

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14. 在数轴上，点A表示3，点B表示6．在点A、B之间有一动点P（点P不与A、B重合），若点P对应的数为x，化简： $2 |x + 3| + 3 |x - 6| =$ ．

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15. 【信息提取】
在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如： $|6 + 7| = 6 + 7$ ， $|6 - 7| = 7 - 6$ ， $|7 - 6| = 7 - 6$ ， $|- 6 - 7| = 6 + 7$ ．
【初步体验】
（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）；
① $|7 - 21| =$ _____；
② $|- \frac{1}{2} + \frac{4}{5}| =$ _____；
③ $|\frac{7}{17} - \frac{7}{18}| =$ _____．
【拓广应用】
（2）计算：
④ $|\frac{1}{5} - \frac{150}{557}| + |\frac{150}{557} - \frac{1}{2}|$ ；
⑤ $|\frac{1}{3} - \frac{1}{2}| + |\frac{1}{4} - \frac{1}{3}| + |\frac{1}{5} - \frac{1}{4}| + \dots + |\frac{1}{2021} - \frac{1}{2020}| + |\frac{1}{2022} - \frac{1}{2021}|$ ．

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三、拓展创新

16. 在多项式 $x - y - z - m - n$ （其中 $x > y > z > m > n$ ）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如 $x - y - | z - m | - n = x - y - z + m - n$ ， $| x - y | - z - | m - n | = x - y - z - m + n$ ， ……则所有“绝对操作”共有（）种不同运算结果

A、7 B、6 C、5 D、4

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17. 已知 $T = | x - 3 | - x + 1$ ，当x分别取1、2、3、…、2024时，所对应T值的总和是．

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18. 对于一个数 $x$ ，我们用 $(x]$ 表示小于 $x$ 的最大整数，例如： $（ 2.6] = 2$ ， $（ - 3] = - 4$ ．若 $|(x] - 2| = 8$ ，求 $x$ 应该满足的条件是．

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19. 设 $a > 0$ ， x，y为有理数，定义新运算 $a ※ x = a \times |x|$ ，如 $3 ※ 2 = 3 \times |2| = 6$ ， $4 ※ (a - 1) = 4 \times |a - 1|$ ．

(1)、求 $2 ※ (- 5)$ 的值．

(2)、若 $y < 0$ ，化简 $2 ※ (- 3 y)$ ．

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20.
[推理能力、运算能力]在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
[提出问题]三个有理数 $a ， b ， c$ 满足 $a b c > 0$ ，求 $\frac{| a |}{a} + \frac{| b |}{b} + \frac{| c |}{c}$ 的值．
[解决问题]由题意可知 $a ， b ， c$ 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另外两个为负数．
①当 $a ， b ， c$ 都为正数，即 $a > 0 ， b > 0 ， c > 0$ 时， $\frac{| a |}{a} + \frac{| b |}{b} + \frac{| c |}{c} = \frac{a}{a} + \frac{b}{b} + \frac{c}{c} = 1 + 1 + 1 = 3$ ；
②当 $a ， b ， c$ 中有一个为正数，另外两个为负数时，不妨设 $a > 0 ， b < 0 ， c < 0$ ，则 $\frac{| a |}{a} + \frac{| b |}{b} + \frac{| c |}{c} = \frac{a}{a} + \frac{- b}{b} + \frac{- c}{c} = 1 + (- 1) + (- 1) = - 1$ ．
综上所述， $\frac{| a |}{a} + \frac{| b |}{b} + \frac{| c |}{c}$ 的值为3或 $- 1$ ．
[探究拓展]请根据上面的解题思路解答下面的问题：

(1)、已知 $a ， b$ 是不为0的有理数，当 $| a b | = - a b$ 时， $\frac{| a |}{a} + \frac{| b |}{b}$ 的值是；

(2)、已知 $a ， b ， c$ 是有理数，当 $a b c < 0$ 时，求 $\frac{| a |}{a} + \frac{| b |}{b} + \frac{| c |}{c}$ 的值；

(3)、已知 $a ， b ， c$ 是有理数， $a + b + c = 0 ， a b c <$ 0，求 $\frac{b + c}{| a |} + \frac{c + a}{| b |} + \frac{a + b}{| c |}$ 的值．

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