精选新定义型题—2024年浙教版数学七（上）期中复习

试卷更新日期：2024-10-19 类型：复习试卷

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一、有理数

1. 小聪同学与小明同学约定了一种新运算：a△b=a^b-ab．小聪同学尝试计算2△4=2⁴-2×4=8，现在请小明同学计算(-4)△2= ．

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2. 已知x ， y为有理数，如果规定一种运算“*”，即x*y＝xy+1，试根据这种运算完成下列各题．

(1)、求2*4；

(2)、求（2*5）*（﹣3）；

(3)、任意选择两个有理数x ， y ，分别计算x*y和y*x ，并比较两个运算结果，你有何发现？

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3. 正整数n小于50，并且满足等式 $[\frac{n}{2}] + [\frac{n}{3}] + [\frac{n}{6}] = n$ ，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如：[1.5]＝1，[2]＝2，则满足等式的正整数的个数为（）

A、2 B、3 C、6 D、8

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4. 设[a]是有理数，用[a]表示不超过a的最大整数，如[1.7]＝1，[﹣1]＝﹣1，[0]＝0，[﹣1.2]＝﹣2，则在以下四个结论中，正确的是（）

A、[a]+[﹣a]＝0 B、[a]+[﹣a]=0或﹣1 C、[a]+[﹣a]≠0 D、[a]+[﹣a]=0或1

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5. 对于任何有理数，我们规定符号 $\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array}$ 的意义是 $\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} = a d - b c$ ，如 $\begin{array}{l} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} = 1 \times 4 - 2 \times 3 = - 2 .$ 当 $| x - 3 | + (y + 1)^{2} = 0$ 时， $\begin{array}{l} x^{2} - y & 2 \\ x^{2} & - 1 \end{array}$ 值为.

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6. 若“！”是一种数学运算符号，并且1!=1， 2!=2 $\times$ 1=2， 3!=3 $\times$ 2 $\times$ 1=6，……，则 $\frac{100 ！}{98 ！}$ 的值为（）

A、 $\frac{100}{98}$ B、99！ C、9900 D、 2！

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7. 【概念学习】
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如 $2 \div 2 \div 2$ ， $(- 3) \div (- 3) \div (- 3) \div (- 3)$ 等，类比有理数的乘方，我们把 $2 \div 2 \div 2$ 写作 $2^{③}$ ，读作“2的圈3次方”， $(- 3) \div (- 3) \div (- 3) \div (- 3)$ 写作 ${(- 3)}^{④}$ ，读作“ $(- 3)$ 的圈4次方”，一般地把 $\frac{a \div a \div a \div • • • \div a}{n 个 a} (a \neq 0)$ 写作a的圈n次方读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果： $2^{③} =$ _________； ${(- \frac{1}{2})}^{③} =$ _________；
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
$除方 \to 2^{④} = 2 \div 2 \div 2 \div 2 = 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = {(\frac{1}{2})}^{2} \to 乘方形式$
（2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式： ${(- 3)}^{⑤} =$ _________， ${(\frac{1}{5})}^{⑥} =$ _________．
（3）算-算： $12^{2} \div {(- \frac{1}{3})}^{④} \times {(- 2)}^{⑥} - {(- \frac{1}{3})}^{⑥} \div 3^{3}$ ．

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8. 小尚同学与小志同学约定了一种新运算：对于任意有理数 $a$ 和 $b$ ，规定 $a ☆ b = a b (b + 1)$ ．小尚同学尝试计算 $2 ☆ (- 3) = 2 \times (- 3) \times [(- 3) + 1] = 12$ ，现在请小志同学计算 $(- 2) ☆ 7 =$ ．

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9. 定义新运算“*”，规定 $a * b = a \times b - (b - 1) \times b$ ，则 $2 * (- 3)$ 的值为（）

A、6 B、 $- 18$ C、 $- 6$ D、18

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10. 规定如下两种运算： $x \otimes y = 2 x y + 1$ ； $x \oplus y = x + 2 y - 1$ ．例如： $2 \otimes 3 = 2 \times 2 \times 3 + 1 = 13$ ； $2 \oplus 3$ $= 2 + 2 \times 3 - 1 = 7$ ．若 $a \otimes (4 \oplus 5)$ 的值为79，则 $a =$

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11. 定义一种新运算， $a ※ b = (a + 2) \times 2 - b$ ，例如： $3 ※ 5 = (3 + 2) \times 2 - 5 = 10$ $- 5 = 5$ ，则 $7 ※ (- 3)$ 的值是。

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12. 定义一种运算“ $*$ ”： $a * b = \frac{a + b}{3}$ ，则 $2 * 3 =$ ， $2 * (- 6) * (- \frac{2}{3}) =$ ．

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13. 规定一种运算： $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - b c$ ，例如 $| \begin{array}{l} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{array} | = 2 \times 5 - 3 \times 4 = - 2$ ，则 $| \begin{array}{l} {(- 1)}^{2023} \\ 1.25 \end{array} \begin{array}{l} 2^{3} \\ - 4^{} \end{array} |$ 的值为（）

A、-10 B、6 C、 $- 6$ D、10

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14. 小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序： $a * b = a - b + 5$ ，例如 $(- 3) * 2 = (- 3) - 2 + 5 = 0$ ，试求 $3 * [4 * (- 5)]$ 的值为．

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15. 对于实数 $a 、 b$ ，定义 $m i n {a ， b}$ 的含义为∶ 当 $a < b$ 时， $m i n {a ， b} = a$ ；当 $a > b$ 时， $m i n {a ， b} = b$ ，例如∶ $m i n {1 ， - 2} = - 2$ .已知 $m i n {\sqrt{30} ， a} = a ， m i n {\sqrt{30} ， b} = \sqrt{30}$ ，且 $a$ 和 $b$ 为两个连续正整数，则 $2 a - b$ 的值为.

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16. 定义一种新运算： $a & b = 2 a^{2} - b$ ，则 $(- 1) & 3 =$ .

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17. 对于实数 $x$ ，我们规定[x]表示不大于 $x$ 的最大整数，如 $[2] = 2 ， [1.5] = 1 ，$ $[- 2.3] = - 3$ .对数99进行如下操作： $99 \overset{第 1 次}{\to} [\sqrt{99}]$ $= 9 \overset{第 2 次}{\to} [\sqrt{9}]$ $= 3 \overset{第 3 次}{\to} [\sqrt{3}]$ =1，这样对数99只需进行3次操作后变成1，类似地，使数520变为1需要进行操作的次数是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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18. 类比乘方运算，我们规定：求n个相同有理数（均不为0）的商的运算叫做除方.例如 $2 \div 2 \div 2 \div 2$ ，记作 $2_{}^{" 4 "}$ ，读作“2的引4次商”.一般的，把 $\underset{n 个 a}{\underset{︸}{a \div a \div a \div a}} (a \neq 0 ，$ $n \geq 2 ，且为整数)$ 记作 $a_{}^{" n "}$ ，读作“a的引n次商”.

(1)、直接写出计算结果： $(\frac{1}{2})_{}^{" 4 "}$ = ， $（ - 3 ）_{}^{" 3 "}$ =.

(2)、归纳：负数的引正奇数次商是数，负数的引正偶数次商是数（填“正或负”）；

(3)、计算： $(- 8) \div 2_{}^{" 3 "} + 11 \times (- \frac{1}{4})_{}^{" 4 "}$ .

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19. 概念学习
规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2^③ ，读作“2的圈3次方”，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)记作(-3)^④ ，读作“-3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷a÷…÷a ， (n个a ， a≠0)记作，读作“a的圈n次方”．

(1)、初步探究：
→2^④=2÷2÷2÷2=2× $\frac{1}{2}$ × $\frac{1}{2}$ × $\frac{1}{2}$ = $(\frac{1}{2})_{}^{2}$ →
①直接写出计算结果：2^③= ， $(- \frac{1}{2})_{}^{⑤}$ =；
②关于除方，下列说法错误的是
A．任何非零数的圈2次方都等于1；                        B．对于任何正整数n ， 1^ⓝ=1；
C.3^④=4^③ D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．

(2)、深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
①试一试：
仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．(-3)^④=    ▲    ；5^⑥=    ▲    ； $(- \frac{1}{2})_{}^{⑩}$ =    ▲     ．
②想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于    ▲    ；
③算一算：12²÷ $(- \frac{1}{3})_{}^{④}$ × $(- \frac{1}{2})_{}^{⑤}$ - $(- \frac{1}{3})_{}^{⑥}$ ÷3³ ．

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20. 观察下列两个等式：
2×＝2²－2×－2，
4×＝4²－2×－2，
给出如下定义：我们称使等式ab＝a²－2b－2成立的一对有理数a ， b为“方差有理数对”，记做(a ， b)，如： $(2 ， \frac{1}{2})$ ， $(4 ， \frac{7}{3})$ 都是“方差有理数对”．

(1)、判断数对(－1，－1)是否为“方差有理数对”，并说明理由．

(2)、若(m ， 2)是“方差有理数对”，求－6m－3[m²－2(2m－1)]的值．

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二、数轴

21. 阅读信息：
信息一： $|x - y|$ 的几何意义是x与y两数在数轴上所对应的两点之间的距离．例如 $|3 - 1|$ 的几何意义是3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
信息二：对于有理数a，b，n，d，若 $|a - 2 n| + |b - 2 n| = d$ ，则称a和b关于n的“双倍关系值”为d．例如， $|6 - 2| + |3 - 2| = 5$ ，则6和3关于1的“双倍关系值”为5．
根据以上信息回答下列问题：

(1)、 $- 3$ 和5关于2的“双倍关系值”为______．

(2)、若a和3关于1的“双倍关系值”为4，求a的值；

(3)、若 $a_{0}$ 和 $a_{1}$ 关于1的“双倍关系值”为2， $a_{1}$ 和 $a_{2}$ 关于2的“双倍关系值”为2， $a_{2}$ 和 $a_{3}$ 关于3的“双倍关系值”为2，…， $a_{20}$ 和 $a_{21}$ 关于21的“双倍关系值”为2．
① $a_{0} + a_{1}$ 的最大值为______；
② $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{20}$ 的值为______（用含 $a_{0}$ 的式子表示）．

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22. 阅读下列材料：
我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A ， B ，若数轴上存在点M ，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离的2倍，则称点M为点A与点B的“亚运点”．其中在A，B之间的点M为点A与点B的“亚运@未来点”
解答下列问题：

(1)、若点A表示的数为-5，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“亚运点”，则点M表示的数为；

(2)、若A、B两点的“亚运点”M表示的数为2，且A、B两点的距离为9（A在B的左侧），则点A表示的数为，

(3)、点A表示的数为-6，点C ， D表示的数分别是-2，0，点O为数轴原点（与静止时的D点重合），点B为线段CD上一点（点B可以与点C与点D重合）．
①设点M表示的数为m ，若点M可以为点A与点B的“亚运@未来点”，则m可取得整数有；
②若点A和点D同时以每秒2个单位长度的速度向数轴正半轴方向移动．设移动的时间为t（t＞0）秒，当t的整数值为时，点O可以为点A与点B的“亚运@未来点”．

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23. 对于数轴上的点M，N，给出如下定义：若点M到点N的距离为d(d≥0)，则称d为点M到点N的追击值，记作d[MN].例如，在数轴上点M表示的数是6，点N表示的数是2，则点M到点N的追击值d[MN]=4.

(1)、若点P，Q都在数轴上，点Р表示的数是1，且点Р到点Q的追击值d[PQ]=a，则点Q表示的数是(用含a的代数式表示).

(2)、如图，若点F从数-1出发，点G从数2出发，沿着数轴正方向同时移动，点F的速度为每秒4个单位，点G的速度为每秒1个单位，设运动时间为t秒(t≥0).求当t为何值时，点F到点G的追击值d[FG]=2.

(3)、若点A从数1出发，点B从数4出发，点E从数6出发，沿着数轴正方向同时移动，点A的速度为每秒4个单位，点B的速度为每秒1个单位，点E的速度为每秒4个单位，设运动时间为t秒(t≥0)，请探究d[AB]与d[BE]之间的数量关系.

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24. 阅读以下材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“雅中点”．解答下列问题：

(1)、若点A表示的数为 $- 5$ ，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“雅中点”，则点M表示的数为                  ；

(2)、若A、B两点的“雅中点M”表示的数为2，A、B两点的距离为9（A在B的左侧），则点A表示的数为                   ，点B表示的数为                  ；

(3)、点A表示的数为 $- 6$ ，点O为数轴原点，点C，D表示的数分别是 $- 4$ ， $- 2$ ，且B为线段上一点（点B可与C、D两点重合）．
①设点M表示的数为 $m$ ，若点M可以为点A与点B的“雅中点”，则m可取得整数有                  ；
②若点C和点D向数轴正半轴方向移动相同距离 $n$ ，使得点O可以为点A与点B的“雅中点”，则n的所有整数值为                   ．

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三、实数

25. 任何实数a，可用 $[a]$ 表示不超过a的最大整数，如 $[4] = 4 ， [\sqrt{3}] = 1$ ，现对72进行如下操作： $72 \to^{第 1 次} [\sqrt{72}] = 8 \to^{第 2 次} [\sqrt{8}] = 2 \to^{第 3 次} [\sqrt{2}] = 1$ ，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，①对81只需进行次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是．

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26. 已知x，y为有理数，如果规定一种运算“@”，即x@y＝xy+x+y，试根据这种运算完成下列各题.

(1)、求2@4；

(2)、任意选择两个有理数x，y，分别计算x@y和y@x，并比较两个运算结果，判断此运算满足什么运算律？

(3)、求（2@ $\sqrt{5}$ ）@（-3）.

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27. ∵4<7<9，即2< $\sqrt{7}$ <3，∴ $\sqrt{7}$ 的整数部分为2，小数部分为 $\sqrt{7}$ -2．
请你观察上述式子规律后解决下面的问题．

(1)、规定用符号[m]表示实数m的整数部分，
例如：[ $\frac{4}{5}$ ]=0，[π]=3．填空：[ $\sqrt{10}$ +2]= ， [5- $\sqrt{13}$ ]=

(2)、如果5+ $\sqrt{13}$ 的小数部分为a，5- $\sqrt{13}$ 的小数部分为b，求a+b的值．

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28. 规定：用符号 $[x]$ 表示一个不大于实数x的最大整数，例如： $[3.69] = 3$ ， $[\sqrt{3} + 1] = 2$ ， $[- 2.56] = - 3$ ， $[- \sqrt{3}] = - 2$ ．按这个规定，求 $[- \sqrt{13} - 1]$ ．

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29. 规定：用符号[x]表示一个不大于实数x的最大整数，例如：[3.69]＝3，[ $\sqrt{3}$ +1]＝2，[﹣2.56]＝﹣3，[﹣ $\sqrt{3}$ ]＝﹣2.按这个规定，[﹣ $\sqrt{13}$ ﹣1]＝.

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30. 已知min{ $\sqrt{x}$ ， x² ， x}表示取三个数中最小的那个数，例如：当x＝9，min{ $\sqrt{x}$ ， x² ， x}＝min{ $\sqrt{9}$ ， 9² ， 9}＝3．当min{ $\sqrt{x}$ ， x² ， x}＝ $\frac{1}{16}$ 时，则x的值为（）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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31. 我们规定： $[x]$ 表示不超过x的最大整数．如： $[3.2] = 3$ ， $[\sqrt{8}] = 2$ ．现已知 $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ⋯ + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ 对所有正整数n成立，则 $[\sqrt{1}] + [\sqrt{2}] + [\sqrt{3}] + [\sqrt{4}] + ⋯ + [\sqrt{61}] + [\sqrt{62}]$ 的值为．

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四、代数式

32. 在实数范围内定义运算“ $\otimes$ ”： $a \otimes b = 2 a - b$ ，例如： $3 \otimes 2 = 2 \times 3 - 2 = 4$ ．若代数式1-4b+2a的值是17，则 $b \otimes a$ 的值为（）

A、2 B、4 C、8 D、-8

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33. 定义：若 $x - y = m$ ，则称x与y是关于m的相关数．

(1)、若5与a是关于2的相关数，则 $a =$ ．

(2)、若A与B是关于m的相关数， $A = 3 m n - 5 m + n + 6$ ， B的值与m无关，求B的值．

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34. 设x，y都表示有理数，定义一种新运算“ $\oplus$ ”：当 $x ⩾ y$ 时， $x \oplus y = y^{3}$ ；当 $x < y$ 时， $x \oplus y = 2 x + y$ .

(1)、请根据这种新运算定义计算 $2 \oplus (- 1) =$ ； $(- 1) \oplus 3 =$ .

(2)、若实数a，b满足 $\sqrt{a - 3} + | b + 2 | = 0$ .
①请直接写出a，b的值.
②求（a $\oplus$ b） $\oplus$ a的值.

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35. 用“ $P$ ”定义一种新运算：对于任意有理数 $x$ 和 $y ， x P y = a^{2} x^{2} - 2 a y + 1$ ( $a$ 为常数).例如： $1 P 2 = a^{2} \times 1^{2} - 2 a \times 2 + 1 = a^{2} - 4 a + 1$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $2 P (- 3)$ 的值.

(2)、若(-2)P2的值比 $2 P (- 2)$ 的值大2，求 $a$ 的值.

(3)、若 $(- 2) P 2$ 的值为5，求 $(- 4) P 8$ 的值.

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36. 阅读材料，解答问题：如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“亚运数”，例如，自然数3157，其中5＝3×2-1，7＝3×2+1，所以3157是“亚运数”.

(1)、填空：①21是“亚运数”（在横线上填上两个数字）；
②最小的四位“亚运数”是.

(2)、若四位“亚运数”的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，这样的数叫做“冠军数”，求所有“冠军数”.

(3)、已知一个大于1的正整数m可以分解成m＝pq+n⁴的形式（p≤q，n≤6，p，q，n均为正整数），在m的所有表示结果中，当nq-np取得最小时，称“m＝pq+n⁴”是m的“最小分解”，此时规定： $F （ m ） = \frac{q + n}{p + n}$ ，
例：18＝1×2+2⁴＝1×17+1⁴ ，因为1×17-1×1＞2×2-2×1，所以F（18）= $\frac{2 + 2}{1 + 2} = \frac{4}{3}$ ，求所有“冠军数”的F（m）的最大值.

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37. 用“P”定义一种新运算：对于任意有理数x和y ， xPy＝a²x²-2ay+1（a为常数）．例如：1P2＝a²×1²-2a×2+1＝a²-4a+1．

(1)、当a＝1时，求2P（-3）的值；

(2)、若（-2）P2的值比2P（-2）的值大2，求a的值；

(3)、若（-2）P2的值为5，求（-4）P8的值．

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38. 用“⊗”规定一种新运算：对于任意有理数a和b ，规定a⊗b＝ab²+2ab+a ．如：1⊗3＝1×3²+2×1×3+1＝16．

(1)、求2⊗（-1）的值；

(2)、若（a-1）⊗3＝32，求a的值；

(3)、若m＝2⊗x ， n＝（ $\frac{1}{4}$ x）⊗3（其中x为有理数），试比较m、n的大小．

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39. 一般情况下 $\frac{m}{2} + \frac{n}{3} = \frac{m + n}{2 + 3}$ 不成立，但有些数可以使得它成立，例如：m＝n＝0时，我们称使得 $\frac{m}{2} + \frac{n}{3} = \frac{m + n}{2 + 3}$ 成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为（m，n）．

(1)、若（m，1）是“相伴数对”，则m＝；

(2)、（m，n）是“相伴数对”，则代数式 $\frac{15}{4}$ m-[n+ $\frac{1}{2}$ （6-12n-15m）]的值为．

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40. 对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，如： $a - (b + c) - (- d - e)$ ，其中称 $a$ 为“数1”， $b$ 为“数2”， $+ c$ 为“数3”， $- d$ 为“数4”， $- e$ 为“数5”，若将任意两个数交换位置，则称这个过程为“换位思考”，例如：对上述代数式的“数1”和“数5”进行“换位思考”，得到： $- e - (b + c) - (- d + a)$ ，则下列说法中正确的个数是（）
①代数式 $(a - b) + (c - d) - e$ 进行一次“换位思考”，化简后只能得到1种结果②代数式 $a - (b + c - d - e)$ 进行一次“换位思考”，化简后可能得到5种结果③代数式 $a + [b - (c - d - e)]$ 进行一次“换位思考”，化简后可能得到7种结果④代数式 $a - [b + c - (d - e)]$ 进行一次“换位思考”，化简后可能得到8种结果

A、0 B、2 C、3 D、4

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