精选实践探究题—2024年浙教版数学七（上）期中复习

试卷更新日期：2024-10-19 类型：复习试卷

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一、有理数

1. 符号“f”表示一种运算，它对一组数的运算如下：
$f (1) = 1 + \frac{2}{1}$ ， $f (2) = 1 + \frac{2}{2}$ ， $f (3) = 1 + \frac{2}{3}$ ， $f (4) = 1 + \frac{2}{4}$ …

(1)、利用以上运算的规律写出 $f (n) =$ ；（ $n$ 为正整数）

(2)、计算 $f (1) \cdot f (2) \cdot f (3) \cdot f (4) \cdot f (5)$ ；

(3)、计算 $\sqrt{f (1) \cdot f (2) \cdot f (3) \cdot f (4) ⋯ f (100)}$ 的值．

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2. 根据以下素材，探索完成任务．
素材1：如何规划游玩路线？
温州轨道交通实行里程分段计价票制，起步价2元，可乘坐4km(含4km)，4至28km(含28km)每1元可乘4km(不足4km按1元算)．如：桐岭站到动车南站共5.3km，收费3元．部分站点距离见下图(单位：km)
素材2：一名成年乘客可免费携带一名身高不足1.2米(含1.2米)的儿童乘车，
素材3：小明一家四口将乘坐轻轨出游．小明家住在新桥站附近，家庭成员如下：小明(身高1.5米)、弟弟(身高1.1米)、爸爸、妈妈．
问题解决

(1)、任务1
从新桥站到桐岭站为km，单人单程乘坐需车费元

(2)、任务2
小明一家乘坐轻轨从新桥站到三烊湿地站，需要多少车费．

(3)、任务3
小明一家从新桥站出发，计划共用30元车费出行(往返)，请你为小明一家规划一个尽可能远的游玩站点，并说明理由．

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3. 素材1：每年秋天是灵昆柿子饼盛产期．小黄同学打算从灵昆寄5袋柿子饼到杭州，以每袋3千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表所示：
柿子饼袋
①
②
③
④
⑤
与标准重量的差值（单位：千克）
0.1
-0.3
0
-0.1
0.2
素材2：小黄同学选择了某快递，收费标准如下：3千克以内15元（含3千克），超过1千克的部分为2元/每千克（不足1千克按1千克计）．现该快递公司提供多种寄件方式：
纸箱类型
中型纸箱
大型纸箱
可容纳袋数（袋/个）
2
4
重量（千克/个）
0.4
0.7
价格（元/个）
3
5
方案一：小黄购买了中型纸箱将重量最低的②、④柿子饼袋打包在一起，其余每小袋各自寄出．
方案二：____．

(1)、【任务1】求这5袋柿子饼的总重量．

(2)、【任务2】求方案一所需要的费用．

(3)、【任务3】请你设计方案二，使它的费用低于方案一，并计算你的方案费用．

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4. 根据以下素材，探索完成任务．
如何规划游玩路线？
素材1
温州轨道交通实行里程分段计价票制，起步价2元，可乘坐4km （含4km），4至28km（含28km）每1元可乘4km（不足4km按1元算）．如：桐岭站到动车南站共5.3km，收费3元．部分站点距离见下图（单位：km）
素材2
一名成年乘客可免费携带一名身高不足1.2米（含1.2米）的儿童乘车，
素材3
小明一家四口将乘坐轻轨出游．小明家住在新桥站附近，家庭成员如下：小明（身高1.5米）、弟弟（身高1.1米）、爸爸、妈妈．
问题解决

(1)、任务1
从新桥站到桐岭站为km，单人单程乘坐需车费元

(2)、任务2
小明一家乘坐轻轨从新桥站到三烊湿地站，需要多少车费．

(3)、任务3
小明一家从新桥站出发，计划共用30元车费出行（往返），请你为小明一家规划一个尽可能远的游玩站点，并说明理由．

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5. 根据以下素材，尝试解决问题．

如何获得更高的销售额？

素材 $1$

甲菜农有 $6$ 筐蔬菜，每筐质量在 $20$ 千克左右，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图，超过 $20$ 千克的以 $170$ 元 $/$ 筐的价格售出，其余三筐以 $9$ 元 $/$ 千克销售，全部售出．

素材 $2$

乙菜农将蔬菜堆放在一起进行销售，售出的蔬菜质量比甲菜农少 $20$ 千克，其中 $80$ 千克以 $10$ 元 $/$ 千克销售，剩下的部分按八折全部售出．

问题解决

(1)、问题1：求甲菜农售出最重的一筐蔬菜的质量．

(2)、问题2：求乙菜农售出的蔬菜的总质量．

(3)、问题3：甲、乙菜农的蔬菜全部售出后，比较哪一位菜农的销售额更高，高多少元？

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6. 国庆期间，某超市各个区域都有促销活动，晓琳一家去逛该超市，准备购买纸巾，根据以下素材，探索完成任务．

揭秘超市促销：送券和打折哪个更优惠
素材1	纸巾区域推出两种活动：活动一：购物满100元送30元券，满200元送60元券，...，上不封顶，送的券当天有效，一次性用完. 活动二：所有商品打8折. 注：两种活动不能同时参加.
素材2	晓琳家用的两种纸巾信息（超市标价）．
素材3	晓琳家平均三天用1包清风牌纸巾，平均五天用1包4D溶纸巾；晓琳家清风牌纸巾还有1袋存货，4D溶纸巾存货不清楚．

问题解决
任务1	半年（按180天计算），试求出需要消耗清风牌纸巾多少袋？消耗4D溶纸巾多少箱？
任务2	按存半年的量计算，还需要购买2种纸巾，其中4D溶纸巾x箱，若选择活动二，则所需的总费用为元（用含x的代数式表示）．
任务3	晓琳突然想起4D溶纸巾没有存货，按半年所需量，请探索送券和打折哪个更优惠？并写出探索过程．

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7. 类比乘方运算，我们规定：求n个相同有理数（均不为0）的商的运算叫做除方.例如 $2 \div 2 \div 2 \div 2$ ，记作 $2_{}^{" 4 "}$ ，读作“2的引4次商”.一般的，把 $\underset{n 个 a}{\underset{︸}{a \div a \div a \div a}} (a \neq 0 ，$ $n \geq 2 ，且为整数)$ 记作 $a_{}^{" n "}$ ，读作“a的引n次商”.

(1)、直接写出计算结果： $(\frac{1}{2})_{}^{" 4 "}$ = ， $（ - 3 ）_{}^{" 3 "}$ =.

(2)、归纳：负数的引正奇数次商是数，负数的引正偶数次商是数（填“正或负”）；

(3)、计算： $(- 8) \div 2_{}^{" 3 "} + 11 \times (- \frac{1}{4})_{}^{" 4 "}$ .

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8. 概念学习
规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2^③ ，读作“2的圈3次方”，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)记作(-3)^④ ，读作“-3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷a÷…÷a ， (n个a ， a≠0)记作，读作“a的圈n次方”．

(1)、初步探究：
→2^④=2÷2÷2÷2=2× $\frac{1}{2}$ × $\frac{1}{2}$ × $\frac{1}{2}$ = $(\frac{1}{2})_{}^{2}$ →
①直接写出计算结果：2^③= ， $(- \frac{1}{2})_{}^{⑤}$ =；
②关于除方，下列说法错误的是
A．任何非零数的圈2次方都等于1；                        B．对于任何正整数n ， 1^ⓝ=1；
C.3^④=4^③ D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．

(2)、深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
①试一试：
仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．(-3)^④=    ▲    ；5^⑥=    ▲    ； $(- \frac{1}{2})_{}^{⑩}$ =    ▲     ．
②想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于    ▲    ；
③算一算：12²÷ $(- \frac{1}{3})_{}^{④}$ × $(- \frac{1}{2})_{}^{⑤}$ - $(- \frac{1}{3})_{}^{⑥}$ ÷3³ ．

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二、数轴

9.
【阅读理解】
点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 为数轴上三点，如果点 $C$ 在 $A$ 、 $B$ 之间且到 $A$ 的距离是点 $C$ 到 $B$ 的距离 $3$ 倍，那么我们就称点 $C$ 是 ${A ， B}$ 的奇点．
例如，如图 $1$ ，点 $A$ 表示的数为 $- 3$ ，点 $B$ 表示的数为 $1 .$ 表示 $0$ 的点 $C$ 到点 $A$ 的距离是 $3$ ，到点 $B$ 的距离是 $1$ ，那么点 $C$ 是 ${A ， B}$ 的奇点；又如，表示 $- 2$ 的点 $D$ 到点 $A$ 的距离是 $1$ ，到点 $B$ 的距离是 $3$ ，那么点 $D$ 就不是 ${A ， B}$ 的奇点，但点 $D$ 是 ${B ， A}$ 的奇点．
【知识运用】
如图 $2$ ， $M$ 、 $N$ 为数轴上两点，点 $M$ 所表示的数为 $- 3$ ，点 $N$ 所表示的数为 $5$ ．

(1)、数所表示的点是 ${M ， N}$ 的奇点；数所表示的点是 ${N ， M}$ 的奇点；

(2)、如图 $3$ ， $A$ 、 $B$ 为数轴上两点，点 $A$ 所表示的数为 $- 50$ ，点 $B$ 所表示的数为 $30 .$ 现有一动点 $P$ 从点 $B$ 出发向左运动，到达点 $A$ 停止． $P$ 点运动到数轴上的什么位置时， $P$ 、 $A$ 和 $B$ 中恰有一个点为其余两点的奇点？

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10. 阅读理解：
若 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 为数轴上三点，若点 $C$ 到 $A$ 的距离是点 $C$ 到 $B$ 的距离 $2$ 倍，我们就称点 $C$ 是【 $A$ ， $B$ 】的好点．
例如，如图 $1$ ，点 $A$ 表示的数为 $- 1$ ，点 $B$ 表示的数为 $2 .$ 表示 $1$ 的点 $C$ 到点 $A$ 的距离是 $2$ ，到点 $B$ 的距离是 $1$ ，那么点 $C$ 是【 $A$ ， $B$ 】的好点；又如，表示 $0$ 的点 $D$ 到点 $A$ 的距离是 $1$ ，到点 $B$ 的距离是 $2$ ，那么点 $D$ 就不是【 $A$ ， $B$ 】的好点，但点 $D$ 是【 $B$ ， $A$ 】的好点．
知识运用：如图 $2$ ， $M$ 、 $N$ 为数轴上两点，点 $M$ 所表示的数为 $- 2$ ，点 $N$ 所表示的数为 $4$ ．

(1)、数所表示的点是【 $M$ ， $N$ 】的好点；

(2)、如图 $3$ ， $A$ 、 $B$ 为数轴上两点，点 $A$ 所表示的数为 $- 20$ ，点 $B$ 所表示的数为 $40 .$ 现有一只电子蚂蚁 $P$ 从点 $B$ 出发，以 $2$ 个单位每秒的速度向左运动，到达点 $A$ 停止 $.$ 当 $t$ 为何值时， $P$ 、 $A$ 和 $B$ 中恰有一个点为其余两点的好点？

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11. 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起了对应关系，揭示了数与点之间的内在联系

(1)、操作一：
折叠纸面，若使1表示的点与-1表示的点重合，则-3表示的点与表示的点重合；

(2)、操作二：
折叠纸面，若使1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①-3表示的点与数表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是，；

(3)、操作三：
在数轴上剪下9个单位长度（从-1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠（如图所示）．若得到的这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是多少？

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12. 新定义学习：
【新知学习】若A，B，C是数轴上的三个点，如果点C到A的距离等于点C到B的距离，那么我们就称点C是AB的中点．例如，如图1，点A表示的数为-1，点B表示的数为3，表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是2，那么点C是AB的中点．

(1)、【知识运用】
①如图2，E、F为数轴上两点，点E所表示的数为-4，点F所表示的数为2，求EF的中点所表示的数，并说明理由．
②如图3，若数 $\sqrt{2}$ 所表示的点G是MN的中点，那么M表示的数为， N表示的数为（只要写出符合条件的一对值即可）．

(2)、【知识拓展】如图4，A，B为数轴上两点，点A所表示的数为-8，点B所表示的数为20．现有一只电子蜗牛P从点A出发，以1个单位每秒的速度向右运动；同时另一只电子蜗牛Q从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，若点M，N分别是AP和BQ的中点，则在P，Q的运动过程中，当t＝秒时，M，N点到原点的距离相等（请直接写出答案）．

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13. 阅读理解：
若 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 为数轴上三点，若点 $C$ 到 $A$ 的距离是点 $C$ 到 $B$ 的距离 $2$ 倍，我们就称点 $C$ 是【 $A$ ， $B$ 】的好点．

例如，如图 $1$ ，点 $A$ 表示的数为 $- 1$ ，点 $B$ 表示的数为 $2 .$ 表示 $1$ 的点 $C$ 到点 $A$ 的距离是 $2$ ，到点 $B$ 的距离是 $1$ ，那么点 $C$ 是【 $A$ ， $B$ 】的好点；又如，表示 $0$ 的点 $D$ 到点 $A$ 的距离是 $1$ ，到点 $B$ 的距离是 $2$ ，那么点 $D$ 就不是【 $A$ ， $B$ 】的好点，但点 $D$ 是【 $B$ ， $A$ 】的好点．

知识运用：如图 $2$ ， $M$ 、 $N$ 为数轴上两点，点 $M$ 所表示的数为 $- 2$ ，点 $N$ 所表示的数为 $4$ ．

(1)、数所表示的点是【 $M$ ， $N$ 】的好点；

(2)、如图 $3$ ， $A$ 、 $B$ 为数轴上两点，点 $A$ 所表示的数为 $- 20$ ，点 $B$ 所表示的数为 $40 .$ 现有一只电子蚂蚁 $P$ 从点 $B$ 出发，以 $2$ 个单位每秒的速度向左运动，到达点 $A$ 停止 $.$ 当 $t$ 为何值时， $P$ 、 $A$ 和 $B$ 中恰有一个点为其余两点的好点？

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14. 【方法感悟】阅读下面材料：
点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为 $| A B |$ .如图1，从数轴上看，若点A，B表示的分别是1，4则 $| A B | = | 4 - 1 | = 3$ 或 $| A B | = | 1 - 4 | = 3$ ；

若点A，B表示的数分别是 $- 1$ ， 4则 $| A B | = | 4 - (- 1) | = 4 + 1 = 5$ 或 $| A B | = | - 1 - 4 | = | - 5 | = 5$ ；

若点A，B表示的数分别是 $- 1$ ， $- 4$ ，则 $| A B | = | (- 1) - (- 4) | = | - 1 + 4 | = 3$ 或 $| A B | = | - 4 - (- 1) | = | - 4 + 1 | = 3$ ．

【归纳】若点A，B表示的数分别是 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 则 $| A B | = | x_{1} - x_{2} |$ 或 $| A B | = | x_{2} - x_{1} |$ ．

【知识迁移】

(1)、如图1，点A，B表示的数分别是 $- 4.5$ ， b且 $| A B | = 3$ ，则 $b =$ ；

(2)、如图2，点A，B表示的数分别是 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若把 $A B$ 向左平移 $| A B |$ 个单位，则点A与 $- 50$ 重合，若把 $A B$ 向右平移 $| A B |$ 个单位，则点B与70重合，那么 $x_{1} =$ ， $x_{2} =$ ；

(3)、【拓展应用】
一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，请问村长爷爷现在到底是多少岁？美羊羊现在又是几岁？请写出解题思路.

(4)、结合几何意义，求 $| x - 1 | + | x - 2 | + | x - 3 | + | x - 4 | + | x - 5 |$ 最小值.

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三、实数

15. 教材上有这样一个合作学习活动：如图1，依次连结2×2方格四条边的中点A ， B ， C ， D ，得到一个阴影正方形．设每一小方格的边长为1，得到阴影正方形面积为2．

(1)、【基础尝试】：
发现图1这个阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，则小方格对角线长是，由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法；

(2)、【画图探究】：
如图2，以1个单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于M ， N两点，则点M表示的数为；

(3)、【问题解决】：
如图3，3×3网格是由9个边长为1的小方格组成．
①画出面积是5的正方形，使它的顶点在网络的格点上；
②请借鉴（2）中的方法在数轴上找到表示实数 $\sqrt{5} - 1$ 的准确位置．（保留作图痕迹并标出必要线段长）

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16. 如图①，把两个边长为 $1$ 的小正方形沿对角线剪开，所得的 $4$ 个直角三角形拼成一个面积为 $2$ 的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．

(1)、图②中 $A$ 、 $B$ 两点表示的数分别为，；

(2)、请你参照上面的方法：
把图③中 $5 \times 1$ 的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图③中画出裁剪线，并在图④的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长 $a =$ ▲ ．（注：小正方形边长都为 $1$ ，拼接不重叠也无空隙）

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17. 如图，有这样一个探究：把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，可以得到一个面积为2的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题：

(1)、所得到的面积为2的大正方形的边长就是原边长为1的小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为；

(2)、由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如下图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，那么 $A$ 点表示的数为；

(3)、通过动手操作，漠子同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图所示的正方形．请借鉴（2）中的方法在数轴上找到表示 $\sqrt{5} - 1$ 的点 $P$ ．（保留作图痕迹并标出必要线段长）

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18. 阅读下列信息材料：
信息1：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：π、 $\sqrt{2}$ 等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确；
信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成2.5﹣2得来的；
信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如2＜ $\sqrt{5}$ ＜3，是因为 $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$ ；
根据上述信息，回答下列问题：

(1)、 $\sqrt{17}$ 的整数部分是，小数部分是；

(2)、8+ $\sqrt{3}$ 也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜8+ $\sqrt{3}$ ＜b则a+b＝；

(3)、若 $\sqrt{39}$ －2＝a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，请求2a-b的相反数．

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19. 教材上有这样一个合作学习活动：如图1，依次连结2×2方格四条边的中点A ， B ， C ， D ，得到一个阴影正方形．设每一小方格的边长为1，得到阴影正方形面积为2．

(1)、【基础尝试】
发现图1这个阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，则小方格对角线长是，由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法；

(2)、【画图探究】
如图2，以1个单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于M ， N两点，则点M表示的数为；

(3)、【问题解决】
如图3，3×3网格是由9个边长为1的小方格组成．
①画出面积是5的正方形，使它的顶点在网络的格点上；
②请借鉴（2）中的方法在数轴上找到表示实数 $\sqrt{5} - 1$ 的准确位置．(保留作图痕迹并标出必要线段长)

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四、一元一次方程

20. 每年“双十一”购物节，商家都会利用这个契机进行促销活动.今年某超市也有促销活动，小明一家去逛该超市，准备购买纸巾，根据以下素材，探索完成任务．
素材1   纸巾区域推出两种活动：活动一：购物满100元送25元券，满200元送50元券，满300元送75元券，…，上不封顶，送的券当天有效，一次性用完．
活动二：所有商品打8.5折．（注：两种活动不能同时参加）
素材2   小明家用的两种纸巾信息（超市标价）
素材3   小明家平时同时使用这两种纸巾，平均三天用1包清风牌纸巾，平均五天用1包4D溶纸巾；小明家清风牌纸巾还有1袋存货，4D溶纸巾存货不清楚.

(1)、任务1   半年（按180天计算），试求出需要消耗清风牌纸巾多少袋？消耗4D溶纸巾多少箱？

(2)、任务2 按存半年的量计算，还需要购买2种纸巾，其中4D溶纸巾x箱，若选择活动二，则所需的总费用为元（用含x的代数式表示）；

(3)、任务3 小明突然想起4D溶纸巾没有存货，按半年所需量，请探索送券和打折哪个更优惠？并写出探索过程.

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21.

怎么做出更多的纸盒
素材1	如右图，用4个长方形纸板作侧面，1个正方形纸板作底面可以做成1个竖式无盖纸盒
素材2	如右图，用2个长方形纸板与2个正方形纸板作侧面，1个长方形纸板作底面可以做成1横式无盖纸盒
素材3	现有200张长方形纸板与100张正方形纸板

问题解决

(1)、问题1 若要使做成的竖式无盖纸盒与横式无盖纸盒的数量一样多，则最多可以做成多少个无盖纸盒（两种纸盒之和）？

(2)、问题2 若要使做成的竖式无盖纸盒比横式无盖纸盒多10个，则最多可以做成多少个无盖纸盒（两种纸盒之和）？

(3)、问题3 若要先做出10个竖式无盖纸盒，接着再做竖式无盖纸盒或横式无盖纸盒，则最后最多可以做成个无盖纸盒（两种纸盒之和，包括先做出的10个纸盒）？(直接写答案)

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柿子饼袋	①	②	③	④	⑤
与标准重量的差值（单位：千克）	0.1	-0.3	0	-0.1	0.2

纸箱类型	中型纸箱	大型纸箱
可容纳袋数（袋/个）	2	4
重量（千克/个）	0.4	0.7
价格（元/个）	3	5