精选实践探究题—2024年浙教版数学八（上）期中复习

试卷更新日期：2024-10-19 类型：复习试卷

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一、全等三角形的性质与判定

1. 【问题背景】

(1)、如图1，点P是线段 $A B$ ， $C D$ 的中点，求证： $A C ∥ B D$ ；

(2)、【变式迁移】
如图2，在等腰 $△ A B C$ 中， $B D$ 是底边 $A C$ 上的高线，点E为 $△ A B D$ 内一点，连接 $E D$ ，延长 $E D$ 到点F，使 $E D = F D$ ，连接 $A F$ ，若 $B E ⊥ A F$ ，若 $A B = 10$ ， $E B = 6$ ，求 $A F$ 的长；

(3)、【拓展创新】
如图3，在等腰 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点D为 $A B$ 中点，点E在线段 $B D$ 上（点E不与点B，点D重合），连接 $C E$ ，过点A作 $A F ⊥ C E$ ，连接 $F D$ ，若 $A F = 8$ ， $C F = 3$ ，请直接写出 $F D$ 的长.

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2. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 8 ， B C = 6$ ， D是 $A B$ 的中点，点E在线段 $A C$ 上，连结 $D E$ ，作 $D F ⊥ D E$ 交直线 $B C$ 于点F，连结 $E F$ .

(1)、【初步尝试】
如图2，当 $A E = 4$ ，线段 $E F$ 的长度是，线段 $B F$ 的长度是.

(2)、【结论探究】
如图1，小宁猜想“ $A E^{2} + B F^{2} = E F^{2}$ ”，但她未能想出证明思路，小波介绍了添加辅助线的方法，如下表所示，请帮小宁完成证明.
如图，延长 $E D$ 至G，使 $D G = D E$ ，连结 $B G$ ， $F G$ .

(3)、【拓展应用】
如图3，当点E在线段 $C A$ 的延长线上时，连结 $D E$ ，作 $D F ⊥ D E$ 交直线 $B C$ 于点F，连结 $E F$ .请补全图形，并求出当 $A E = 2$ 时，线段 $B F$ 的长.

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3. 【初步探索】

(1)、如图1，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D ， ∠ B = ∠ A D C = 90 °$ ， E， F分别是 $B C ， C D$ 上的点，且 $E F = B E + F D$ ，探究图中 $∠ B A E ， ∠ F A D ， ∠ E A F$ 之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长 $F D$ 到点G，使 $D G = B E$ ．连接 $A G$ ，先证明 $△ A B E ≌ △ A D G$ ，再证明 $△ A E F ≌ △ A G F$ ，可得出结论，则他的结论应是．

(2)、【灵活运用】
如图2，若在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D ， ∠ B + ∠ D = 180 ° ， E ， F$ 分别是 $B C ， C D$ 上的点，且 $E F = B E + F D$ ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

(3)、【拓展延伸】
如图3，已知在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C + ∠ A D C = 180 ° ， A B = A D ，$ 若点E在 $C B$ 的延长线上，点F在 $C D$ 的延长线上，且仍然满足 $E F = B E + F D$ ，请写出 $∠ E A F$ 与 $∠ D A B$ 的数量关系，并给出证明过程．

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4. 在△ABC中，点D在直线AB上，点E在平面内，点F在BC的延长线上，∠E=∠BDC，AE=CD，∠EAB+∠DCF=180°．

(1)、【问题解决】
如图1，若点D在边BA的延长线上，求证：AD+BC=BE；

(2)、【类比探究】
如图2，若点D在线段AB上，请直接写出线段AD、BC与BE之间存在怎样的数量关系；

(3)、【拓展延伸】
如图3若点D在线段AB的延长线上，请探究线段AD、BC与BE之间的数量关系，并证明．

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5. 学习了全等三角形后，我们知道中点在平行线之间的题目通常会用到倍长中线构造“8”字型全等的方法，比如在图1，已知 $A B ∥ C D$ ，连结 $A D$ ， $B C$ 交于点E，若E为 $A D$ 中点，则有 $△ A B E ≌ △ D C E$ ．请利用以上方法解决下列问题．
问题1：为测量河对岸A点到B点的距离，可借鉴上述方法求值：过点B画直线 $l$ ，并在直线 $l$ 上依次取C点和D点，使得 $A C ⊥ l$ ， $B C = B D$ ，补全图形，指出测量哪条线段就可知道 $A B$ 的长，请加以证明．
问题2：【深入思考】如图3，在 $△ A B C$ 中，D是 $A C$ 的中点， $B A = B E$ ， $B C = B F$ ， $∠ A B E = ∠ C B F = 90 °$ ，试判断线段 $B D$ 与 $E F$ 的数量关系并证明．
问题3：如图4，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， D为 $A B$ 中点，连结 $C D$ ，作 $E D ⊥ C D$ 交 $A C$ 于点E．已知 $A E = 2$ ， $B C = 5$ ，则 $C E$ 的长______．

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6. 如图①，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB₁折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B₁A₁C的平分线A₁B₂折叠，剪掉重复部分……将余下部分沿∠B_nA_nC的平分线A_nB_n+1折叠，点B_n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，则称∠BAC是△ABC的好玩角．
小马展示了确定∠BAC是△ABC的好玩角的两种情形．
情形一：如图②，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB₁折叠，点B与点C重合；
情形二：如图③，沿∠BAC的平分线AB₁折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B₁A₁C的平分线A₁B₂折叠，此时点B₁与点C重合．

(1)、探究发现：
在△ABC中，∠B=66°，∠B>∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好玩角，求∠C的度数．

(2)、小马经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好玩角，请探究∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系为．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好玩角，则∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系为．

(3)、应用提升：
小马找到一个三角形，三个角分别为20°，60°，100°，发现60°和100的两个角都是此三角形的好玩角．请你完成，如果一个三角形的最小角是18°试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好玩角．

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7.

(1)、某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC ，直线l经过点A ， BD⊥直线l ， CE⊥直线l ，垂足分别为点D、E ．证明：DE＝BD+CE ．

(2)、组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC ， D ， A ， E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α ，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

(3)、数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG ， AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I ，求证：I是EG的中点．

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二、特殊三角形

8. 如图

(1)、【问题发现】如图1，在 $△ A B C$ 与 $△ C D E$ 中， $∠ B = ∠ E = ∠ A C D = 90 °$ ， $A C = C D$ ， B、C、E三点在同一直线上， $A B = 4 ， E D = 3$ ，则 $B E =$ ．

(2)、【问题提出】如图2，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 ° ， B C = 3$ ，过点C作 $C D ⊥ A C$ ，且 $C D = A C$ ，求 $△ B C D$ 的面积．

(3)、【问题解决】如图3，四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ C A B = ∠ A D C = 45 ° ， △ A C D$ 面积为14且 $C D$ 的长为7 ，求 $△ B C D$ 的面积．

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9. 【问题解决】
如图1，点C为线段AB上一点，∠A＝∠B＝90°，AD＝BC，BE＝AC，连接CD、CE、DE.

(1)、求证：△ACD≌△BEC.

(2)、判断△CDE是哪种特殊三角形，并说明理由.

(3)、【拓展延伸】
如图2，点C为线段AB上一点，∠A＝∠B＝45°，CD⊥CE.当CD＝CE时，求 $\frac{A D + B E}{A B}$ 的值.

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10. 为了测量学校旗杆的高度，八(1)班的两个数学研究小组设计了不同的方案，请结合下面表格的信息，完成任务问题．

测量旗杆的高度
测量工具	测量角度的仪器、皮尺等
测量小组	第一小组	第二小组
测量方案示意图
设计方案及测量数据	在地面确定点C，并测得旗杆顶端A的仰角，即∠ACB=45°．	如图1，绳子垂直挂下来时，相比旗杆，测量多出的绳子长度FP为2米．如图2，绳子斜拉直后至末端点P位置，测量点P到地面的距离PD为1米，以及点P到旗杆AB的距离PE为9米．

(1)、任务一：判断分析

第一小组要测旗杆AB的高度，只需要测量的长度为线段并说明理由．

(2)、任务二：推理计算

利用第二小组获得的数据，求旗杆的高度AB．

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11. 为了测量一条两岸平行的河流的宽度，由于跨河测量困难，所以三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处测得河北岸的树A恰好在B的正北方向，测量方案如下表：

课题	测量河流宽度
工具	测量角度的仪器，标杆，皮尺等
小组	第一小组	第二小组	第三小组
测量方案	观察者从B点向东走到C点，此时恰好测得： ∠ACB＝45°	观测者从B点向东走到O点，在O点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达C点后，一直向南走到点D ，使得树，标杆，人在同一直线上	观测者从B点出发，沿着南偏西80°的方向走到点C ，此时恰好测得： ∠ACB＝40°
测量示意图

(1)、第一小组认为要知道河宽AB ，只需要测量线段_的长度．

(2)、第二小组认为只要测得CD就能得到河宽AB ，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由．

(3)、第三小组测得BC＝35米，请你帮他们求出河宽AB ．

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12. 【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，AD是△ABC的中线，若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长AD至点E，使ED＝AD．连接BE，可以证出△ADC≌△EDB，利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化到到△ABE中，进而求出AD的取值范围．

方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线AD延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”．

(1)、请你利用上面解答问题的思路方法，写出求AD的取值范围的过程；

(2)、【问题解决】
如图②，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB＝AC，下列四个选项中：

A．∠ACD＝∠BCD B．CE＝2CD C．∠BCD＝∠BCE D．CD＝CB

直接写出所有正确选项的序号是．

(3)、【问题拓展】
如图③，在△ABO和△CDO中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB与∠COD互补，连接AC、BD，E是BD的中点，求证：OE＝ $\frac{1}{2}$ AC．

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13. 引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．

(1)、【理解概念】：
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB ，请写出图中两对“等角三角形”．
① ．；②．．

(2)、如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．请你说明CD是△ABC的等角分割线．

(3)、【应用概念】：
在△ABC中，若∠A＝40°，CD为△ABC的等角分割线，请你直接写出所有可能的∠B度数．

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14. 如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，如图 $1$ ，等腰 $△ A B C$ 与等腰 $△ A D E$ 中， $∠ B A C = ∠ D A E = α$ ， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ，我们把它们构成的这个图形叫做“手拉手模型”．

(1)、【模型探究】
如图 $1$ ，线段 $B D$ 与线段 $C E$ 存在怎样的数量关系？请证明你的结论．

(2)、【应用模型】
如图 $2$ ，等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ，点 $P$ 是 $B C$ 边的中点，直线 $M N$ 经过点 $P$ ，且 $∠ D P B = 30 °$ ，点 $D$ 是直线 $M N$ 上的动点，将线段 $A D$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $A E$ ，连结 $D E$ ．
$①$ 如图 $3$ ，当点 $E$ 落在 $B C$ 边上时，求 $C E$ ．
$②$ 直接写出在点 $D$ 运动过程中，点 $C$ 和点 $E$ 之间的最短距离．

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15. 如图

(1)、如图1，把一块三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A，B，C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中；你发现线段AD与BE有什么数量关系？试说明你的结论

(2)、【变式探究】如图2，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，若∠B＝∠FDE＝∠C，那么∠BED与∠CDF有何关系，并加以说理；

(3)、【拓展应用】如图3，在△ABC中，BA=BC，∠B＝45°，点D、F分别是边BC、AB上的动点，且AF=2BD，以DF为腰向右做等腰△DEF，使得DE＝DF，∠EDF＝45°，连接CE.
①试判断线段DC、BD、BF之间的数量关系，并说明理由；
②如图4，已知AC＝2，点G是AC的中点，连接EA，EG，直接写出EA+EG的最小值．

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16. 我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点.

(1)、特例感知
等腰直角三角形勾股高三角形(填“是”或“不是”)；

(2)、如图①， $△ A B C$ 为勾股高三角形，其中 $C$ 为勾股顶点， $C D$ 是 $A B$ 边上的高.若 $B D = 2 A D = 2$ ，试求线段 $C D$ 的长度.

(3)、深入探究
如图②， $△ A B C$ 为勾股高三角形，其中 $C$ 为勾股顶点且 $C A > C B$ ， $C D$ 是 $A B$ 边上的高.试探究线段 $A D$ 与 $C B$ 的数量关系，并给予证明.

(4)、推广应用
如图③，等腰三角形 $A B C$ 为勾股高三角形，其中 $A B = A C > B C$ ， $C D$ 为 $A B$ 边上的高，过点 $D$ 向 $B C$ 边引平行线与 $A C$ 边交于点 $E$ .若 $C E = a$ ，试求线段 $D E$ 的长度.

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17.

(1)、【问题发现】
如图1，在△ABC与△CDE中，∠B=∠E=∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝4，ED＝3，则BE=.

(2)、【问题提出】
如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积.

(3)、【问题解决】
如图3，四边形ABCD中，∠ABC=∠CAB=∠ADC＝45°，△ACD面积为14且CD的长为7，求△BCD的面积.

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