浙江省嘉兴市2023-2024学年高一上学期1月期末检测数学试题

试卷更新日期：2024-02-21 类型：期末考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{x |2 \leq x < 4\}, B = \{x |x \geq 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[2, 4)$ B、 $[3, 4)$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $[3, + \infty)$

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2. 已知 $sin (π + α) = \frac{3}{5}$ ，则 $sin α =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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3. 已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 3^{x} - 1, x \leq 1 \\ \frac{1}{2} f (x - 1), x > 1 \end{cases}$ ，则 $f (3) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $2$ D、 $4$

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4. 已知 $a, b, m \in (0, + \infty)$ ，则“ $a > b$ ”是“ $\frac{b + m}{a + m} > \frac{b}{a}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知 $α, β$ 都是锐角， $cos (α + β) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}, sin α = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，则 $cos β =$ （）

A、 $\frac{9 \sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$

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6. 设函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ ，则下列函数是奇函数的是（）

A、 $f (x + 1) + 2$ B、 $f (x - 1) + 2$ C、 $f (x - 1) - 2$ D、 $f (x + 1) - 2$

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7. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ ）的部分图象如图所示， $△ A B C$ 是等腰直角三角形，A ， B为图象与x轴的交点，C为图象上的最高点，且 $| O B | = 3 | O A |$ ，则（）

A、 $f (6) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $f (1) + f (9) = 0$ C、 $f (x)$ 在 $(3, 5)$ 上单调递减 D、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{5}{2}, 0)$ 中心对称

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8. 已知函数 $f (x) = e^{x} + x$ ， $g (x) = \ln x + x$ ，若 $f (x_{1}) = g (x_{2}) = t$ ，则 $x_{1} + x_{2} + 2 - t^{2}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{9}{4}$ B、 $2$ C、 $\frac{2 e - 1}{2}$ D、 $\frac{3 e - 1}{e^{2}}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 已知幂函数 $f (x) = x^{α}$ 的图象经过点 $(4, 2)$ ，则（）

A、 $α = \frac{1}{2}$ B、 $f (x)$ 的图象经过点 $(1, 1)$ C、 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上单调递增 D、不等式 $f (x) \geq x$ 的解集为 $\{x ∣ x \leq 1\}$

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10. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $a b \geq \frac{1}{8}$ B、 $a^{2} + b^{2} > 1$ C、 $(a - \frac{1}{2}) (b - \frac{1}{2}) \leq 0$ D、 $ln \frac{1}{a} + ln \frac{1}{b} > 1$

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11. 已知函数 $f_{k} (x) = {sin}^{2 k} x + {cos}^{2 k} x (k \in N^{*})$ ，值域为 $A_{k}$ ，则（）

A、 $A_{2} = [\frac{1}{2}, 1]$ B、 $\forall k \in N^{*}, f_{k} (x)$ 的最大值为1 C、 $\forall k \in N^{*}, A_{k + 1} \subseteq A_{k}$ D、 $\exists k \in N^{*}$ ，使得函数 $f_{k} (x)$ 的最小值为 $\frac{1}{3}$

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12. 设定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (x + 2) = 0, f (x + 1)$ 为奇函数，当 $x \in [1, 2]$ 时， $f (x) = a \cdot 2^{x} + b$ ，若 $f (0) = - 1$ ，则（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $a + b = - \frac{1}{2}$ C、 $f ({log}_{2} 24) = - \frac{1}{2}$ D、 $f (x + 2)$ 为偶函数

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 一个扇形的弧长和面积都是 $\frac{2π}{3}$ ，则这个扇形的半径为．

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14. 函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{|x|}$ 的单调递增区间是．

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15. 海洋潮汐是在太阳和月球的引力作用下，形成的具有周期性海面上升和下降的现象．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，停靠码头；在落潮时离开港口，返回海洋．已知某港口某天的水深 $H (t)$ （单位： $m$ ）与时间 $t$ （单位： $h$ ）之间满足关系式： $H (t) = 3 sin ω t + 5 (ω > 0)$ ，且当地潮汐变化的周期为 $T = 12.4 h$ ．现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为 $5 m$ ，安全条例规定至少要有 $1.5 m$ 的安全间隙（船底与洋底的距离）．若该船计划在当天下午到达港口，并在港口停靠一段时间后于当天离开，则它最多可停留h．

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16. 若函数 $f (x) = x^{2} - 2 x - a (\frac{1}{1 + |x - 1|} - a) (a > 0)$ 有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知集合 $A = \{x |x^{2} - 2 x - 3 \geq 0\}, B = \{x ||x| \leq 2\}$ ．

(1)、求集合 $A$ ；

(2)、求 $(∁_{R} A) \cup B$ ．

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18. 如图，以 $O x$ 为始边作角 $α$ 与 $β (0 < β < α < π)$ ，它们的终边与单位圆 $O$ 分别交于 $P$ 、 $Q$ 两点，且 $O P ⊥ O Q$ ，已知点 $P$ 的坐标为 $(- \frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ ．

(1)、求 $sin α - sin β$ 的值；

(2)、求 $tan 2 β$ 的值．

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19. 已知函数 $f (x) = {log}_{2} (x + 1) - {log}_{2} (1 - x)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域，并根据定义证明函数 $f (x)$ 是增函数；

(2)、若对任意 $x \in [0, \frac{1}{2}]$ ，关于 $x$ 的不等式 $f (1 - t \cdot 2^{x}) < f (\frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1})$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围．

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20. 噪声污染问题越来越受到人们的重视．我们常用声压与声压级来度量声音的强弱，其中声压 $p$ （单位： $Pa$ ）是指声波通过介质传播时，由振动带来的压强变化；而声压级 $L_{p}$ （单位： $dB$ ）是一个相对的物理量，并定义 $L_{p} = 20 \times lg \frac{p}{p_{0}}$ ，其中常数 $p_{0}$ 为听觉下限阈值，且 $p_{0} = 2 \times 10^{- 5} Pa$ ．

(1)、已知某人正常说话时声压 $p$ 的范围是 $0.002 Pa \sim 0.02 Pa$ ，求声压级 $L_{p}$ 的取值范围；

(2)、当几个声源同时存在并叠加时，所产生的总声压 $p$ 为各声源声压 $p_{i} (i = 1, 2, 3, \dots, n)$ 的平方和的算术平方根，即 $p = \sqrt{p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + p_{3}^{2} + \dots + p_{n}^{2}}$ ．现有10辆声压级均为 $80 dB$ 的卡车同时同地启动并原地急速，试问这10辆车产生的噪声声压级 $L_{p}$ 是多少？

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21. 设函数 $f (x) = 2 {cos}^{2} ω x - 2 sin ω x cos ω x - 1 (0 < ω < 4)$ ，若将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后得到曲线 $C$ ，则曲线 $C$ 关于 $y$ 轴对称．

(1)、求 $ω$ 的值；

(2)、若直线 $y = m$ 与曲线 $y = f (x)$ 在区间 $[0, π]$ 上从左往右仅相交于 $A, B, C$ 三点，且 $|A B| = 2 |B C|$ ，求实数 $m$ 的值．

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 4 x - a cos \frac{π}{2} x$ ．

(1)、若 $a = - 1$ ，求函数 $f (x)$ 在 $[0, 2]$ 上的值域；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a - 4$ 恰有三个不等实根 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，求 $f (2 x_{1}) - 7 f (x_{3}) - 8 x_{1}$ 的最大值，并求出此时实数 $a$ 的值．

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