《相似》精选压轴题—2024年浙教版数学九（上）期中复习

试卷更新日期：2024-10-19 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，AB、CD交于F，若AE＝6，AD＝8，则AF的长为（）

A、5 B、 $\frac{40}{7}$ C、 $\frac{28}{5}$ D、6

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2. 如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE(∠ABC和∠AED是直角），连接BE，CD交于点P，CD与AE边交于点M，对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②∠BPC=45°；③MP·MD=MA·ME；④2CB²=CP·CM，其中正确的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形ABCD与正方形EFGH.连结EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P.若 $G O = G P$ ，下列结论：① $∠ G O P = ∠ B C P$ ，② $B C = B P$ ，③ $B G ： P G = \sqrt{2} + 1$ ，④ $D P = P O$ .正确的是（）

A、②③④ B、①③④ C、①②④ D、①②③

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 4$ ，点 $D$ 为 $B C$ 边上一动点 $($ 不与点 $B$ 、 $C$ 重合 $)$ ， $C E$ 垂直 $A D$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，垂足为点 $H$ ，连接 $B H$ 并延长交 $A C$ 于点 $F$ ，下面结论正确的个数是（）
①若 $A D$ 是 $B C$ 边上的中线，则 $D H = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ；②若 $A D$ 平分 $∠ C A B$ ，则 $\frac{C D}{B D} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ；③若 $B D = 2 C D$ ，则 $A E = 3 B E$ ；④ $B H$ 的最小值为 $\sqrt{5}$ ．

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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5. 如图①，在△ABC中，∠B＝108°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C→A匀速运动一周．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为v（cm），v与t的函数图象如图②所示．当BP恰好是∠ABC的一条三等分线时，t的值为（　　）

A、 $\sqrt{5}$ +2或5 B、 $\sqrt{5}$ +3或6 C、 $\sqrt{5}$ +3或5 D、 $\sqrt{5}$ +2或6

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二、填空题

6. 在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是BC的中点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F．

(1)、线段DF的长为；

(2)、连接AC，若AC交DF于点M，则 $\frac{C M}{A M}$ ＝．

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7. 矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是AB边上一点，AE＝3，连接DE，点F是BC延长线上一点，连接AF，且∠F＝ $\frac{1}{2}$ ∠EDC，则BF＝.

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8. 如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为．

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9. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形 $A B C D$ 如图所示．将小正方形对角线 $E F$ 双向延长，分别交边 $A B$ ，和边 $B C$ 的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5， $G H = 2 \sqrt{10}$ ，则大正方形的边长为．

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10. 如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F 在另一条直线上. 以下结论正确的是（）

A、△COF∽△CEG B、OC=3OF C、AB：AD=4：3 D、GE= $\sqrt{6}$ DF

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5 ， B C = 4 \sqrt{5} ， D$ 为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则 $△ A B C$ 的面积是， $△ B D E$ 面积的最大值为.

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三、解答题

12. 如图1，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，E为AD上一点，CE与BD交于点F．

(1)、若AE＝CE，BD⊥CE，①求∠DEC的度数．②如图2，连接AF，当BC＝3时，求AF的值．

(2)、设 $\frac{D E}{A D} = k$ （0＜k＜1），记△CBF的面积为S₁ ，四边形ABFE的面积为S₂ ，求 $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ 的最大值.

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13. 如图1，矩形ABCD中，AB=a ， BC=6，点E ， F分别为AD ， AB边上任意一点，现将△AEF沿直线EF对折，点A对应点为点P ．

(1)、若点B与点F重合
①如图2，若a=5，当点P落在BC中垂线上时，求AE的长；
②当点P可以两次落在在BC中垂线上时，求a取值范围；

(2)、如图3，连接BD ，若a=4，AE=2AF ，直线FP交△BCD的边于点G ，是否存在点G ，使得以E ， G ， P为顶点的三角形与△AEF相似．若存在，请求出AE的长；若不存在，请说明理由．

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14. 在平面直角坐标系中，点B、E的坐标分别为B（-2， $\sqrt{3}$ ），E（4，0），过点E作直线l⊥x轴，设直线l上的动点A的坐标为（4，m），连接AB ，将线段BA绕点B顺时针方向旋转30°得到线段BA′，在射线BA′上取点C ，构造Rt△ABC ，使得∠BAC＝90°．

(1)、如图1，当m＝- $\sqrt{3}$ 时，求直线AB的函数表达式．

(2)、当点C落在x轴上如图2的位置时，求点C的坐标．

(3)、已知点B关于原点O的对称点是点D ，在点A的运动过程中，是否存在某一位置，使△ACD与△ABC相似（包括全等）？若存在，请直接写出点A的坐标；若不存在，请说明理由．

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15. 如图1所示，正方形BEFG绕正方形ABCD的顶点B逆时针旋转α度（0°＜α＜45°），GF与AB交于点H ．

(1)、当BE＝4，α＝30°时，求BH的长；

(2)、如图2，连接DF ， CE ， BD；
①判断DF与CE的数量关系，并证明；
②当G ， F ， D三点共线时，延长BF交AD于点M ， $F M = 2 \sqrt{2} ， F D = 6$ 时，求BC的长．

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16. 如图，
在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是AB上一动点，连接CD，以CD为直径的⊙O交AC于点E，连接BO并延长交AC于点F，交⊙O于点G，连接BE，EG．

(1)、求证：BE＝EG．

(2)、当CD平分∠BCA时，求证：△BEF为等腰三角形．

(3)、当BD＝CF，请直接写出△COF和△BOD的面积之比为．

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17.

(1)、【探究证明】某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：
如图①，在矩形 $A B C D$ 中， $E F ⊥ G H$ ， $E F$ 分别交 $A D 、 B C$ 于点E、F， $G H$ 分别交 $A B 、 D C$ 于点G、H，求证： $\frac{E F}{G H} = \frac{A B}{A D}$ ；

(2)、【结论应用】如图②，将矩形 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠，使得点B和点D重合，若 $A B = 4 ， B C = 6$ ，求折痕 $E F$ 的长；

(3)、【拓展运用】如图③，将矩形 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠．使得点D落在 $A B$ 边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形 $E F P G$ ，若 $A B = 4 ， B C = 6 ， E F = \frac{4 \sqrt{10}}{3}$ ，求 $B P$ 的长．

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18. 如图
问题探究：

(1)、如图①，已知线段AB＝2，在AB的两侧分别作等边△ABC和Rt△ABD，且∠ADB=90°，CM、DM分别为两个三角形的中线，连接CD，则CD的最大值为；

(2)、
如图②，已知△ABC，分别以AB为直角边在△ABC外侧作Rt△ABP，以AC为斜边在△ABC外侧作Rt△ACQ，且∠ABP＝∠AQC＝90°，∠PAB＝∠CAQ＝30°，连接PC、BQ，请求出 $\frac{B Q}{P C}$ 的值；

(3)、如图③，已知边长为a的正方形ABCD，点E是边CB延长线上一动点，连接AE、ED，请问是否存在 $\frac{A E}{E D}$ 的最小值？如果存在，求出；如果不存在，请说明理由．

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19. 如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝3：2，点F、G分别在边AB、CD上，将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGP，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O.

(1)、若BC＝8，E是BC中点，求BF的长；

(2)、试探究GF与AE之间的位置关系与数量关系，并说明理由；

(3)、连接CP，若 $\frac{B E}{B F} = \frac{3}{4}$ ，GF＝2 $\sqrt{10}$ ，求线段BE和CP的长.

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