《二次函数》精选压轴题—2024年浙教版数学九（上）期中复习

试卷更新日期：2024-10-19 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = m (x + 2)^{2} + k$ 与x轴交于 $(x_{1} ， 0)$ ， $(x_{2} ， 0)$ 两点，其中 $x_{1} < x_{2}$ 。将此抛物线向上平移，与x轴交于 $(x_{3} ， 0)$ ， $(x_{4} ， 0)$ 两点，其中 $x_{3} < x_{4}$ ，下面结论正确的是（）

A、当 $m > 0$ 时， $x_{1} + x_{2} = x_{3} + x_{4}$ ， $x_{2} - x_{1} > x_{4} - x_{3}$ B、当 $m > 0$ 时， $x_{1} + x_{2} > x_{3} + x_{4}$ ， $x_{2} - x_{1} = x_{4} - x_{3}$ C、当 $m < 0$ 时 $x_{1} + x_{2} = x_{3} + x_{4}$ ， $x_{2} - x_{1} > x_{4} - x_{3}$ D、当 $m < 0$ 时， $x_{1} + x_{2} > x_{3} + x_{4}$ ， $x_{2} - x_{1} = x_{4} - x_{3}$

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2. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，有下列结论：① $a b c > 0$ ；② $b^{2} < 4 a c$ ；③ $a - b + c < 0$ ；④ $a + b > m (a m + b) (m \neq 1)$ ；⑤若方程 $| a x^{2} + b x + c | = 1$ 有四个根，则这四个根的和为2.其中正确的为（）

A、①② B、②④ C、③④ D、②⑤

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3. 已知抛物线 $y = a {(x - 3)}^{2} + h$ 经过点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，且 $| x_{1} - 3 | < | x_{2} - 3 |$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $y_{1} - y_{2} > 0$ B、 $y_{1} - y_{2} < 0$ C、 $a (y_{1} - y_{2}) > 0$ D、 $a (y_{1} - y_{2}) < 0$

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4. 已知二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②b²＜4ac；③a－b＋c＜0；④a＋b＞m(am＋b)（m≠1）；⑤若方程|ax²＋bx＋c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的为（）

A、①② B、②④ C、③④ D、②⑤

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5. 若b≤x≤b＋3时，二次函数y＝x²＋bx＋b²的最小值为15，则b的值为（）

A、-或 $\frac{- 3 + \sqrt{17}}{2}$ B、或 $\frac{- 3 - \sqrt{17}}{2}$ C、2或 $\frac{- 3 + \sqrt{17}}{2}$ D、-2或

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6. 已知点A（x₁ ， y₁）、B（x₂ ， y₂）为抛物线y＝mx²-2mx+1（m为常数，m＞0）上的两点，当t＜x₁＜t+1，t+2＜x₂＜t+3时，（）

A、若t≤1，则y₁＞y₂ B、若y₁＞y₂ ，则t≤-1 C、若t≥-1，则y₁＜y₂ D、若t≥1，则y₁＜y₂

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7. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c （ a$ 、 $b$ 、 $c$ 是常数，且 $a \neq 0 ）$ 的自变量 $x$ 与函数值 $y$ 的部分对应值如下表：
x
…
-1
0
1
2
…
y … m 2 2 n …
且当 $x = \frac{3}{2}$ 时，对应的函数值 $y < 0 .$ 有以下结论： $① a b c > 0$ ； $② m + n < - \frac{20}{3}$ ； $③$ 关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的负实数根在 $- \frac{1}{2}$ 和 $0$ 之间； $④ P_{1} （ t - 1 ， y_{1} ）$ 和 $P_{2} （ t + 1 ， y_{2} ）$ 在该二次函数的图象上，则当实数 $t > \frac{1}{3}$ 时， $y_{1} > y_{2}$ ．
其中正确的结论是（）

A、 $① ②$ B、 $③ ④$ C、 $② ③ ④$ D、 $② ③$

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8. 已知抛物线y＝-x²+bx+3的顶点坐标为（1，4），若关于x的一元二次方程-x²+bx+3-t＝0（t为实数）在-1≤x≤5范围内有两个不同的实数根，则实数t的取值范围是（）

A、-12≤t＜4 B、t＜4 C、-12＜t≤0 D、0≤t＜4

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9. 已知二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②b²＜4ac；③a－b＋c＜0；④a＋b＞m(am＋b)（m≠1）；⑤若方程|ax²＋bx＋c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的为（）

A、①② B、②④ C、③④ D、②⑤

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10. 如图，直线 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 与y轴交于点A，与直线 $y = - \frac{1}{2} x$ 交于点B，以 $A B$ 为边向右作菱形 $A B C D$ ，点C恰与原点O重合，抛物线 $y = (x - h)^{2} + k$ 的顶点在直线 $y = - \frac{1}{2} x$ 上移动．若抛物线与菱形的边 $A B$ 、 $B C$ 都有公共点，则h的取值范围是（）

A、 $- 2 \leq h \leq \frac{1}{2}$ B、 $- 2 \leq h \leq 1$ C、 $- 1 \leq h \leq \frac{3}{2}$ D、 $- 1 \leq h \leq \frac{1}{2}$

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二、填空题

11. 如图，抛物线y＝x²﹣4x+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），点C关于抛物线对称轴的对称点为点D，动点E在y轴上，点F在以点B为圆心，半径为1的圆上，则DE+EF的最小值是．

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12. 设 $y = (x + a) (x + b)$ 的图象与 $x$ 轴有 $m$ 个交点，函数 $y = (a x + 1) (b x + 1)$ 的图象与 $x$ 轴有 $n$ 个交点，则所有可能的数对 $(m ， n)$ 是

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13. 图1是一个瓷碗，图 2 是其截面图，碗体 DEC 呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝8cm．

(1)、当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为；

(2)、如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM=45°时停止，此时碗中液面宽度CH= ．

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14. 如图，已知抛物线y₁的开口向上且顶点D在y轴的负半轴上，y₂由y₁先绕顶点旋转180°，再平移得到，它们与x轴的交点为A、B、C且AB= $\frac{1}{2}$ BC=2OD=4，则抛物线y₂的顶点E的坐标是；若过定点（1，1）的直线被抛物线y₁、y₂所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为.

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三、解答题

15. 在直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (t ， \frac{1}{t}) ， C (0 ， - t)$ （ $t$ 为非零实数），点 $B$ 与点 $A$ 关于原点对称，若抛物线 $Q$ 过 $A ， B ， C$ 三点．

(1)、当 $t = 2$ 时，求抛物线 $Q$ 对应的二次函数解析式；

(2)、尝试把 $t$ 的取值分成两类，使抛物线对应的二次函数分别有关于 $t$ 的最大、最小值，并写出最大值 $y_{1}$ 和最小值 $y_{2}$ 关于 $t$ 的函数解析式．

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16. 已知二次函数y＝2x²+bx+c（b，c是常数）

(1)、若A（1，0），B（0，4）两点在该二次函数图象上，求二次函数的表达式．

(2)、若二次函数的表达式可以写成y＝2（x-h）²-2的形式（h是常数），求b+c的最小值．

(3)、若二次函数的表达式还可以写成y＝2（x-m）（x-m-k），它的图象与x轴交于A，B两点，一次函数y＝kx+b的图象经过点A，且与二次函数的图象交于另一点C．是否存在实数k，使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形，如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

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17. 已知如图1，二次函数 $y = x^{2} - 4 x - 5$ 与x轴交于点A，C两点，且点A在点C的左侧，与y轴交于点B，连结AB．

(1)、求点A、B的坐标；

(2)、如图2，将点A向下平移n个单位得到D，将D向左平移m个单位得 $D_{1}$ ，将 $D_{1}$ 向左平移2m个单位得 $D_{2}$ ，若 $D_{1}$ 与 $D_{2}$ 均在抛物线上，求m，n的值；

(3)、如图3，点P是x轴下方，抛物线对称轴右侧图象上的一点，连结PB ，过P作PQ//AB，与抛物线另一个交点为Q，M，N为AB上两点，且PM//y轴，QN//y轴，
①当△BPM为直角三角形时，求点P的坐标；
②是否存在点P使得PB 与 QN相互平分，若存在，求PQ的长，若不存在，说明理由．

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18. 如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（－1，0）和B（m ， 0），与y轴相交于点C ，且经过点D（3，3），过点D作DE⊥BD ，交y轴于点E ，连结BE ．

(1)、当m＝6时，求这个二次函数的表达式．

(2)、试用含m的代数式表示点C的坐标．

(3)、作点D关于BE的对称点D′ ，连结OD′ ， ED′ ．当△OD′E的面积等于1时，请直接写出m的值．

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19. 已知二次函数y＝a（x+2a-1）（x-a+2）（a是常数，a≠0）．

(1)、当a＝1时，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．

(2)、若此函数图象对称轴为直线x＝-2时，求函数的最小值．

(3)、设此二次函数的顶点坐标为（m，n），当a≠1时，求 $\frac{n}{m + a}$ 的最大值

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20. 如图，直线y＝- $\frac{1}{2}$ x+3交y轴于点A ，交x轴于点C ，抛物线y＝-+bx+c经过点A ，点C ，且交x轴于另一点B ．

(1)、直接写出点A ，点B ，点C的坐标及抛物线的解析式；

(2)、在直线AC上方的抛物线上有一点M ，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；

(3)、将线段OA绕x轴上的动点P（m ， 0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．

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21. 定义：若一个函数图象上存在纵坐标与横坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“互逆点”

(1)、若点M（-2，m）是一次函数y=kx+6的图象上的“互逆点”，则k=若点N(n ， -n)是函数y $= \frac{5}{3 - 2 x}$ 的图象上的“互逆点”，则n=

(2)、若点P(p ， 3）是二次函数y=x²+bx+c的图象上唯一的“互逆点”，求这个二次函数的表达式；

(3)、若二次函数y=ax²+bx+c（a ， b是常数，a>0）的图象过点（0，2），且图象上存在两个不同的“互逆点”A（x₁ ， -x₁），B（x₂ ， -x₂），且满足-1<x₁<1，|x₁ $-$ x₂|=2，如果z=b²+2b+2，请求出z的取值范围。

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22. 如图，抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C．

(1)、求抛物线的表达式．

(2)、已知点D为y轴上一点，点D关于直线AC的对称点为D₁ ．
①当点D₁刚好落在第二象限的抛物线上时，求出点D的坐标．
②点P在抛物线上（点P不与点A、点C重合），连结PD，PD₁ ， DD₁ ，是否存在点P，使△PDD₁为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在

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23. 如图所示，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 相交于点A、B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（-2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍，记抛物线的顶点为E。

(1)、求双曲线和抛物线的函数关系式；

(2)、计算△ABC与△ABE的面积；

(3)、在抛物线上是否存在点D，使∆ABD的面积等于∆ABE的面积的8倍？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

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x	…	-1	0	1	2	…
y	…	m	2	2	n	…