《圆》精选压轴题—2024年浙教版数学九（上）期中复习

试卷更新日期：2024-10-19 类型：复习试卷

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一、选择題

1. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE=DE，BC=CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE=6，EG=4，则AB的长为（）

A、 $4 \sqrt{5}$ B、 $8 \sqrt{3}$ C、13 D、14

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2. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，⊙P是△ABC的外接圆，连接PA ．若AD＝3，BD＝1，BC＝5，则PA的长（）

A、2.5 B、 $\frac{5 \sqrt{10}}{6}$ C、 $\frac{5 \sqrt{10}}{3}$ D、2.8

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3. 已知点A ， B ， C在⊙O上，∠ABC＝30°，把劣弧 $\hat{B C}$ 沿着直线CB折叠交弦AB于点D ．若BD＝9，AD＝6，则 $\hat{A C}$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{3} π$ B、3π C、 $\frac{\sqrt{57}}{3} π$ D、 $\frac{5}{3} π$

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4. 阿基米德折弦定理：如图1，AB与BC是 $⊙ O$ 的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦)，AB>BC，点 $M$ 是 $\overset{⌢}{A B C}$ 的中点， $M N ⊥ A B$ 于点 $N$ ，则点 $N$ 是折弦ABC的中点，即 $A N = B N + B C$ .如图2，半径为4的圆中有一个内接矩形 $A B C D ， A B > B C$ ，点 $M$ 是 $\overset{⌢}{A B C}$ 的中点， $M N ⊥ A B$ 于点 $N$ ，若矩形ABCD的面积为20，则线段BN的长为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{26} - \sqrt{6}$ D、 $\frac{5}{2}$

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5. 已知点A，B，C在⊙O上，∠ABC=30°，把劣弧 $\overset{⌢}{B C}$ 沿着直线CB折叠交弦AB于点D．若BD=9，AD=6，则 $\overset{⌢}{A C}$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ π B、3π C、 $\frac{\sqrt{57}}{3}$ π D、 $\frac{5}{3}$ π

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6. 如图，在边长为8的正方形 $A B C D$ 中，点O为正方形的中心，点E为 $A D$ 边上的动点，连结 $O E$ ，作 $O F ⊥ O E$ 交 $C D$ 于点F，连接 $E F$ ， P为 $E F$ 的中点，G为边 $C D$ 上一点，且 $C D = 4 C G$ ，连接 $P A ， P G$ ，则 $P A + P G$ 的最小值为（）

A、10 B、 $4 \sqrt{7}$ C、 $8 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{29}$

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7. 量角器和三角板是我们平常数学学习中常用的工具．有一天，爱思考的小聪拿着两块工具拼成了如图1的样子，计划让三角板的直角顶点始终在量角器的半圆弧上运动，紧接着小聪根据自己的想法画出了示意图(如图2)。已知点C是量角器半圆弧的中点，点P为三角板的直角顶点，两直角边PE、PF分别过点A、B．连结CP，过点O作OM⊥CP交CP于点M，交AP于点N若AB=8，则NB的最小值为；若点Q为 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，则点P从点Q运动到点B时，N点的运动路径长为.

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8. 如图，点O在线段AB上，OA＝2，OB＝6，以O为圆心，OA为半径作⊙O，点M在⊙O上运动，连结MB，以MB为一边作等边△MBC，连结AC，则AC长度的最小值为（）

A、2 $\sqrt{13} +$ 2 B、2 $\sqrt{13} -$ 2 C、4 $\sqrt{3} +$ 2 D、4 $\sqrt{3} -$ 2

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9. 如图，正方形 $A B C D$ 的顶点 $A$ 、 $B$ 在 $⊙ O$ 上，顶点 $C$ 、 $D$ 在 $⊙ O$ 内，将正方形 $A B C D$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $α$ ，使点 $C$ 落在 $⊙ O$ 上．若正方形 $A B C D$ 的边长和 $⊙ O$ 的半径相等，则旋转角度 $α$ 等于（）

A、 $36 °$ B、 $30 °$ C、 $25 °$ D、 $22.5 °$

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10. 如图，在半圆O中，直径AB＝2，C是半圆上一点，将弧AC沿弦AC折叠交AB于D ，点E是弧AD的中点．连接OE ，则OE的最小值为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{2} + 1$ C、 $4 - \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2} - 2$

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二、填空题

11. 如图，点P是线段AB上一动点（不包括端点），过点P作PQ⊥AB交以AB为直径的半圆O于点Q ，连接AQ ，过点P作PC∥AQ交该半圆于点C ，连接CB ．当△PCB是以PC为腰的等腰三角形时， $\frac{B P}{A B}$ 为．

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12. 如图，在以AB为直径的半圆O上，AB＝2 $\sqrt{5}$ ，点C事半圆弧上的任务点，点F是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，连接BF交AC于点E，AD平分∠CAB交BF于点D，则∠ADB＝度；当DB＝DF时，BC的长为．

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13. 如图，在平面直角坐标系中，点P是以C（-1.5，2）为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A（﹣1，0），B（1，0），连接PA ， PB ，则PA²+PB²的最小值是．

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14. 如图，点P是线段AB上一动点(不包括端点)，过点P作PQ⊥AB交以AB为直径的半圆O于点Q，连结AQ，过点P作PC∥AQ交该半圆于点C，连结CB．当△PCB是以PC为腰的等腰三角形时， $\frac{B P}{A B}$ 为

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15. 如图，正方形 $A B C D$ 中， $A B = 3 c m$ ，以 $B$ 为圆心， $1 c m$ 长为半径画 $⊙ B$ ，点 $P$ 在 $⊙ B$ 上移动，连接 $A P$ ，并将 $A P$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ 至 $A P ’$ ，连接 $B P ’ .$ 在点 $P$ 移动的过程中， $B P ’$ 长度的最小值为 $c m$ ．

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16. 图1是某游乐园的摩天轮，A，B两位同学坐在摩天轮上的示意图如图2，摩天轮半径OA为9米，两同学的直线距离AB为6米，当两位同学旋转到同一高度时（A在B的右侧），A同学距离地面的高度为米，当A同学旋转到最高位置，此时两位同学的高度差为米．

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17. 如图，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC＝4，BC＝3．若D为⊙O上一点，且△ABD为等腰三角形，则弦CD的长为．

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三、解答题

18.
已知：如图1，四边形ABCD内接于 $⊙$ O，AC⊥BD于点P，F为BC延长线上一点．

(1)、求证：∠DCF=∠DAB

(2)、过O作OE⊥AB于点E(如图2)，试猜想线段OE与DC的数量关系，并证明你的猜想.

(3)、当图2中点P运动到圆外时，即AC、BD的延长线交于点P，且∠P=90°时 $($ 如图 $3$ 所示 $)$ ，（2）中的猜想是否成立？如果成立请给出你的证明，如果不成立请说明理由．

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19. 如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E ， $\hat{C F} = \hat{C B}$ ， BF与CD交于点G ．

(1)、求证：CD＝BF ．

(2)、若BE＝1，BF＝4，求GE的长．

(3)、连结GO ， OF ，如图2，求证： $2 ∠ E O G + \frac{1}{2} ∠ A O F = 90 °$ ．

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20. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P（4，3），⊙O经过点P，过点P作x轴的平行线交⊙O于点E.

(1)、如图1，求线段OP的长；

(2)、点A为y轴正半轴上的一动点，点B和点A关于直线PE对称，连接PA，PB.直线PA，PB分别交⊙O于点C，D.直线CD交x轴于点F，交直线PE于点G.
①点A运动到如图2位置，连接CE，DE.求证：∠DGP= $∠$ ECP.

②在点A运动过程中，当DF=OP时，求点D的坐标.

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21. 如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是AB上一动点，连接CD，以CD为直径的⊙M交AC于点E，连接BM并延长交AC于点F，交⊙M于点G，连接BE．

(1)、求证：点B在⊙M上．

(2)、当点D移动到使CD⊥BE时，求BC：BD的值．

(3)、求证：AE²+CF²＝EF² ．

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22. 如图1，△ABC是⊙O内接三角形将△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，其中点D在圆上，点E在线段AC上．

(1)、求证：DE=DC；

(2)、如图2，过点B作BF∥CD分别交AC、AD于点M、N，交⊙O于点F，连结AF．求证：AN·DE=AF·BM：

(3)、在(2)的条件下，若 $\frac{A B}{A C} = \frac{1}{3}$ 时，求 $\frac{B F}{B C}$ 的值．

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23. 已知⊙O为△ABC的外接圆，AB＝BC．

(1)、如图1，连结OB交AC于点E，过A作CO的垂线交CO延长线于点D．
①求证：BO平分∠ABC；
②设∠ACB＝α，∠DAC＝β，请用含α的代数式表示β；（直接写出答案）

(2)、如图2，若∠ABC＝90°，F为⊙O上的一点，且点B，F位于AC两侧，作△ABF关于AB对称的图形△ABG，连结GC，试猜想AG，CG，BG三者之间的数量关系并给予证明．

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24. 如图，△ABC内接于⊙O，过点O作OH⊥BC于点H，延长OH交⊙O于点D，连接AD、BD，AD与BC交于点E，AD＝9．

(1)、求证：∠BAD＝∠CAD．

(2)、若OH＝DH．
①求∠BAC的度数．
②若⊙O的半径为6，求DE的长．

(3)、设BD＝x，AB⋅CE＝y，求y关于x的函数表达式．

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25. 如图1，四边形ABDE内接于⊙O，AB＝AE，AC⊥BD于点F．点C在⊙O上，AC⊥BD于点F.

(1)、连接BE，求证：∠ABE＝∠ACB．

(2)、设∠CBF为x度，∠BAE为y度，写出y关于x的函数表达式．

(3)、如图2，作OG⊥AC于点G，连接AO并延长交⊙O于点H．
①∠BAE＝120°，OG＝4， $C F = 3 \sqrt{3}$ ，求BD的长．
②若DE＝12，求OG的长．

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26. 如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BC＝12，D是BC的中点．经过A ， B ， D的⊙O交AC于E点．

(1)、求AE的长．

(2)、当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动点B ．记AP＝x ， BQ＝y ．
①求y关于x的表达式．
②连结PQ ，当△PQC的面积最大时，求x的值．

(3)、如图2，连结BE ， BP ，延长BP交⊙O于点F ，连结FE ．当EF与△BDE中的某一边相等时，求四边形BDEF的面积．

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27. 如图，
在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是AB上一动点，连接CD，以CD为直径的⊙O交AC于点E，连接BO并延长交AC于点F，交⊙O于点G，连接BE，EG．

(1)、求证：BE＝EG．

(2)、当CD平分∠BCA时，求证：△BEF为等腰三角形．

(3)、当BD＝CF，请直接写出△COF和△BOD的面积之比为．

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28. 如图1，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，点P在半径OB上，连接AP ．

(1)、把△AOP沿AP翻折，点O的对称点为点Q ．
①当点Q刚好落在弧AB上，求弧AQ的长；
②如图2，点Q落在扇形AOB外，AQ与弧AB交于点C ，过点Q作QH⊥OA ，垂足为H ，
探究OH、AH、QC之间的数量关系，并说明理由；

(2)、如图3，记扇形AOB在直线AP上方的部分为图形W ，把图形W沿着AP翻折，点B的对称点为点E ，弧AE与OA交于点F ，若OF＝2，求PO的长．

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