浙江省杭州高级中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2024-02-10 类型：期末考试

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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 直线 $l : x + \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角的大小为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $120^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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2. 若数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = n^{2} + n$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{100}} =$ （）

A、 $\frac{100}{101}$ B、 $\frac{1}{101}$ C、 $\frac{101}{100}$ D、 $\frac{99}{100}$

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3. 若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} a_{n} = a_{n} - 1$ ，则 $a_{2024} =$ （　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $- 1$

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4. 在空间四边形 $A B C D$ 中， $\overset{⃑}{D A} = \overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{D B} = \overset{⃑}{b}, \overset{⃑}{D C} = \overset{⃑}{c}$ ，且 $\overset{⃑}{D M} = \overset{⃑}{M A}, \overset{⃑}{B N} = 2 \overset{⃑}{N C}$ ，则 $\overset{⃑}{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \overset{⃑}{a} - \frac{1}{3} \overset{⃑}{b} - \frac{2}{3} \overset{⃑}{c}$ B、 $- \frac{1}{2} \overset{⃑}{a} + \frac{2}{3} \overset{⃑}{b} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \overset{⃑}{a} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{b} + \frac{2}{3} \overset{⃑}{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \overset{⃑}{a} + \frac{1}{2} \overset{⃑}{b} + \frac{1}{2} \overset{⃑}{c}$

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5. 以下四个命题中，正确的是（）

A、若 $\vec{O P} = \frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B}$ ，则 $P, A, B$ 三点共线 B、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 为空间的一个基底，则 $\{\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}\}$ 构成空间的另一个基底 C、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ D、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ ，且 $\vec{a} \neq \vec{0}$ ，则 $\vec{b} = \vec{c}$

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6. 已知圆 $C_{1} : {(x - 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 16$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} + 2 x - 3 = 0$ ，则两圆的公切线的条数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n ， S₁₀＝1，S₃₀＝13，S₄₀＝（　　）

A、﹣51 B、﹣20 C、27 D、40

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8. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $M$ 是双曲线左支上一点， $∠ F_{1} M F_{2} = 90^{\circ}$ ，直线 $M F_{2}$ 交双曲线的另一支于点 $N$ ， $|M N| = 2 |N F_{2}|$ ，则双曲线的离心率（）

A、 $3$ B、 $9$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2$

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二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9. 下列求导运算正确的是（）

A、若 $f (x) = \cos (2 x + 3)$ ，则 $f^{'} (x) = 2 \sin (2 x + 3)$ B、若 $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ ，则 $f^{'} (x) = \frac{1 - x}{e^{x}}$ C、若 $f (x) = e^{- 2 x + 1}$ ，则 $f^{'} (x) = e^{- 2 x + 1}$ D、若 $f (x) = x \ln x$ ，则 $f^{'} (x) = \ln x + 1$

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10. 某次辩论赛有7位评委进行评分，首先7位评委各给出某选手一个原始分数，评定该选手成绩时从7个原始分数中去掉一个最高分、去掉一个最低分，得到5个有效评分．则这5个有效评分与7个原始评分相比，数字特征可能不同的是（）

A、极差 B、中位数 C、平均数 D、方差

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11. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90^{\circ}$ ， $A B = A C = A A_{1} = 2$ ， $E, F$ 分别是 $B C, A_{1} C_{1}$ 的中点， $D$ 在线段 $B_{1} C_{1}$ 上，则下面说法中正确的有（）

A、 $E F / /$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ B、若 $D$ 是 $B_{1} C_{1}$ 上的中点，则 $B D ⊥ E F$ C、直线 $E F$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、存在点 $D$ 使直线 $B D$ 与直线 $E F$ 平行

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12. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $F_{1} (- 2, 0), F_{2} (2, 0), A (- 1, 1)$ ，若动点 $P$ 满足 $|P F_{1}| + |P F_{2}| = 6,$ 则（）

A、存在点 $P$ ，使得 $|P F_{2}| = 1$ B、 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $4 \sqrt{5}$ C、对任意的点 $P$ ，都有 $|P A| + |P F_{2}| > \frac{9}{2}$ D、椭圆上存在 $2$ 个点 $P$ ，使得 $△ P A F_{1}$ 的面积为 $\frac{3}{2}$

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三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} + a_{2} = 5, a_{5} + a_{6} = 7$ ，则 $a_{9} + a_{10} =$ .

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14. 从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.

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15. 若函数 $f (x) = x^{2} - x + 1 + a \ln x$ 在其定义域上单调递增，则实数a的取值范围是.

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16. 高斯函数 $y = [x]$ 是以德国数学家卡尔-高斯命名的初等函数，其中 $x \in R, [x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[π] = 3, [- 3.5] = - 4$ .已知 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ ，设 $\{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $\{[S_{n}]\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ .则（1） $T_{3} =$ ；（2）满足 $T_{n} \geq 2024$ 的最小正整数 $n$ 为．

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四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）

17. $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $2 c o s C (a c o s B + b c o s A) = c .$

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $c = 5$ ， $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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18. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 1, B C = 2, ∠ A B C = 60^{\circ}$ ，四边形 $A C E F$ 为正方形，且平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A C E F$ .

(1)、证明： $A B ⊥ C F$ ；

(2)、求平面 $B E F$ 与平面 $A D F$ 夹角的余弦值.

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19. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - a x^{2}$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、已知 $a = 1$ 时，直线 $l : y = k x$ 为曲线 $f (x) = 2 x^{3} - a x^{2}$ 的切线，求实数 $k$ 的值．

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20. 已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $8 S_{n} = a_{n}^{2} + 4 a_{n} + 4$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \{\begin{cases} 2^{n - 1} n 为奇数 \\ \frac{1}{2} a_{n - 1} n 为偶数 \end{cases}$ ， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{2 n}$ .

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21. 已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $A (x_{1}, y_{1})$ 是曲线 $C$ 上一点．

(1)、若 $|A F| = \frac{5}{4} y_{1}$ ，求点 $A$ 的坐标；

(2)、若直线 $l : y = x + m$ 与抛物线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且以 $A B$ 为直径的圆过点 $P (4, 0)$ ，求 $| A B |$ .

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22. 已知双曲线 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ，焦点到渐近线的距离为 $1$ ，过点 $M (0, 4)$ 作直线 $A B$ （不与 $y$ 轴重合）与双曲线 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，过点 $A$ 作直线 $l : y = t$ 的垂线 $A E, E$ 为垂足．

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、是否存在实数 $t$ ，使得直线 $E B$ 过定点 $P$ ，若存在，求 $t$ 的值及定点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由.

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