菱形的性质与判定——北师大版数学九年级上册知识点训练

试卷更新日期：2024-10-17 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 下列命题是真命题的是（）

A、有两边相等的平行四边形是菱形 B、对角线互相平分的四边形是平行四边形 C、四个角都相等的平行四边形是正方形 D、有一个角是直角的四边形是矩形

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2. 如图，菱形 $A B C D$ 中，连接 $A C ， B D$ ，若 $∠ 1 = 20 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $20 °$ B、 $60 °$ C、 $70 °$ D、 $80 °$

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3. 如图，菱形ABCD中，∠BAD = 60°，AB = 6，点E，F分别在边AB，AD上，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，若点G恰好为CD边的中点，则AE的长为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{21}{4}$ C、 $\frac{3}{4} \sqrt{15}$ D、3 $\sqrt{3}$

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4. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，菱形 $O A B C$ ， $O$ 为坐标原点，点 $C$ 在 $x$ 轴上， $A$ 的坐标为 $(- 3,4)$ ，则顶点 $B$ 的坐标是（）

A、 $(- 5,4)$ B、 $(- 6,3)$ C、 $(- 8,4)$ D、 $(2,4)$

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5. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（　　）

A、 $\frac{12}{5}$ B、 $\frac{18}{5}$ C、4 D、 $\frac{24}{5}$

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6. “蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁．李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为 $6 cm$ 的蓝丝带，若 $∠ B A D = 45 °$ ，则重叠部分图形形状和面积分别是（）

A、平行四边形， $18 \sqrt{2} {cm}^{2}$ B、平行四边形， $36 \sqrt{2} {cm}^{2}$ C、菱形， $18 \sqrt{2} {cm}^{2}$ D、菱形， $36 \sqrt{2} {cm}^{2}$

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7. 如图，菱形ABCD中， $∠ B = 6 0^{°}, E, F$ 分别是BC，CD的中点，连接 $A E, E F, A F, △ A E F$ 的周长为 $3 \sqrt{3} c m$ ，则菱形ABCD的周长为（）

A、5cm B、6cm C、 $4 \sqrt{3} c m$ D、8cm

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8. 如图，在菱形ABCD中，E、F分别是边CD、BC上的动点，连接AE ， EF ， G、H分别为AE、EF的中点，连接GH ．若∠D＝45°，AD=4，则GH的最小值为（）

A、2 B、4 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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二、填空题

9. 已知菱形的两条对角线分别是 $4$ 和 $6$ ，则其面积是．

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10. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于点 $O$ ，作 $D E ⊥ A B$ 交 $B A$ 的延长线于点 $E$ ，连接 $O E$ ，若 $A B = \sqrt{6}$ ， $O E = \sqrt{5}$ ，则菱形 $A B C D$ 的面积为．

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11. 如图，菱形 $A B C D$ 的边长为4， $∠ B A D = 60 °$ ，过点B作 $B E ⊥ A B$ 交 $C D$ 于点E，连接 $A E$ ， F为 $A E$ 的中点，连接 $C F$ ， $C F$ 交 $B E$ 于点G，则 $G F$ 的长为．

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12. 如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F，延长BD至G，使得DG=BD，连结EG，FG，若AE=DE，则 $\frac{E G}{A B}$ = ．

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13. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6．点P ，点Q同时从点A出发，沿AB方向匀速运动，点P的速度为1，点Q的速度为3，点Q到达点B时停留在点B ，待点P继续运动到点B时结束运动．设运动时间为t ，已知当t＝1时，线段DC上有一点M ，使四边形PQMD是菱形．若运动过程中，线段DC上另有一点N ，使四边形PQND是菱形，则此时t＝．

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三、解答题

14. 如图是由 $8$ 个形状大小完全相同的小长方形组成的矩形网格，顶点称为这个矩形网格的格点，请按要求在矩形网格中画格点四边形．

(1)、在图 $1$ 中画出一个以 $A B$ 为对角线的平行四边形 $A B C D$ ．

(2)、若小长方形的宽为 $1$ ，请在图 $2$ 中画出一个边长为 $\sqrt{10}$ 的菱形 $E F G H .$ 注：图 $1$ ，图 $2$ 在答题纸上．

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15. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A C = 60 cm$ ， $∠ A = 60 °$ ，点D从点C出发沿 $C A$ 方向以 $4 cm/s$ 的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿 $A B$ 方向以 $2 cm/s$ 的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒 $(0 < t \leq 15)$ ．过点D作 $D F ⊥ B C$ 于点F，连接 $D E$ 、 $E F$ ．
备用图

(1)、四边形 $A E F D$ 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；

(2)、四边形 $B E D F$ 能够成为正方形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由．

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16. 如图，在四边形ABCD中， $A D ∥ B C$ ， O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与四边形ABCD的边AD ， BC交于M ， N两点，连接CM ， AN ．

(1)、求证：四边形ANCM为平行四边形；

(2)、当MN平分∠AMC时，
①求证：四边形ANCM为菱形；
②当四边形ABCD是矩形时，若 $A D = 8$ ， $A C = 4 \sqrt{5}$ ，求DM的长．

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17. .如图，在平面直角坐标系中，直线 $l_{1}$ ： $y = - \frac{1}{2} x + 4$ 分别与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于点 $B$ ， $C$ ，且与直线 $l_{2}$ ： $y = \frac{1}{3} x$ 交于点 $A$ ．

(1)、分别求出点 $A$ ， $B$ ， $C$ 的坐标．

(2)、若 $D$ 是线段 $O A$ 上的点，且 $△ C O D$ 的面积为 $6$ ，求直线 $C D$ 的函数解析式．

(3)、在 $(2)$ 的条件下，设 $P$ 是射线 $C D$ 上的点，在平面内是否存在点 $Q$ ，使以 $O$ ， $C$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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18. 如图所示四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O ，已知点 $O A = O C$ ， $O B = O D$ ， BD平分 $∠ A B C$ .
图1 图2

(1)、证明：四边形ABCD是菱形；

(2)、如图1，过四边形ABCD的顶点 $C$ 作 $C F ⊥ B C$ ，且 $B C = C F$ ，线段 $C F$ 交 $O D$ 于点 $E$ ，交 $A D$ 于点 $H$ ，交 $B A$ 的延长线于点 $F$ ，求证： $D E = \sqrt{2} (O A + O E)$ ；

(3)、如图2，在四边形 $A B C D$ 中，若 $∠ A B C = 45 °$ ， $△ A B C$ 的面积为 $9 \sqrt{2}$ ，点 $P$ 是直线 $A D$ 上一动点，连接 $B P$ .点 $M$ 在线段 $A B$ 的左侧， $△ B P M$ 为等边三角形，连接 $A M$ ，当线段 $A M$ 最短时，求 $A P^{2}$ 的值.

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19. 综合与实践
顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．
以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．
【探究一】
原四边形对角线关系
中点四边形形状
不相等、不垂直
平行四边形
如图1，在四边形 $A B C D$ 中，E、F、G、H分别是各边的中点．
求证：中点四边形 $E F G H$ 是平行四边形．
证明：∵E、F、G、H分别是 $A B$ 、 $B C$ 、 $C D$ 、 $D A$ 的中点，
∴ $E F$ 、 $G H$ 分别是 $△ A B C$ 和 $△ A C D$ 的中位线，
∴ $E F = \frac{1}{2} A C$ ， $G H = \frac{1}{2} A C$ （ ① ）
∴ $E F = G H$ ．
同理可得： $E H = F G$ ．
∴中点四边形 $E F G H$ 是平行四边形．
结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．

(1)、请你补全上述过程中的证明依据.

(2)、【探究二】
原四边形对角线关系
中点四边形形状
不相等、不垂直
平行四边形
$A C = B D$
菱形
从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．
下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．

(3)、
【探究三】
原四边形对角线关系
中点四边形形状
不相等、不垂直
平行四边形
$A C ⊥ B D$
    ②
从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是．

(4)、下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．

(5)、【归纳总结】
请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形．
原四边形对角线关系
中点四边形形状
    ③
    ④
结论：原四边形对角线时，中点四边形是．

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20. 综合与实践
【问题情境】
如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在线段 $A D$ 上，点 $F$ 在线段 $C D$ 上，且始终满足 $A E = C F$ .连接 $B E$ ， $B F$ ，将线段 $B E$ 绕点 $E$ 逆时针旋转一定角度，得到线段 $E G$ （点 $G$ 是点 $B$ 旋转后的对应点），并使点 $G$ 落在线段 $B C$ 上， $E G$ 与 $B F$ 交于点 $H$ .

(1)、【初步分析】
线段 $E G$ 与 $B F$ 的数量关系为，位置关系为；

(2)、【深入分析】
如图②，再将线段 $E G$ 绕点 $E$ 逆时针旋转90°，得到线段 $E M$ （点 $M$ 是点 $G$ 旋转后的对应点），连接 $F M$ ，请判断四边形 $B E M F$ 的形状，并说明理由：

(3)、如图③，若点 $G$ 落在 $B C$ 的延长线上，且当点 $H$ 恰好为 $E G$ 的中点时，设 $C D$ 与 $E G$ 交于点 $N$ ， $A D = 3$ ，求 $C G$ 的长.

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原四边形对角线关系	中点四边形形状
不相等、不垂直	平行四边形

原四边形对角线关系	中点四边形形状
③	④