浙江省绍兴市2024届高三下学期4月适应性考试数学试卷

试卷更新日期：2024-04-18 类型：高考模拟

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知 $z = i (1 - 2 i)$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、 $\sqrt{5}$ D、5

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2. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，长轴长为4，则该椭圆的短轴长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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3. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $\frac{S_{5}}{5} - \frac{S_{2}}{2} = 6$ ，则 $a_{7} - a_{4} =$ （）

A、9 B、10 C、11 D、12

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4. 已知四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $\vec{E C} = 2 \vec{B E}$ ， $\vec{D F} = 2 \vec{F C}$ ，记 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，则 $\vec{E F} =$ （）

A、 $- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ B、 $- \frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$

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5. 过点 $P (a, b)$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 的切线 $P A$ ， $A$ 为切点， $|P A| = 1$ ，则 $a + 2 b$ 的最大值是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{10}$

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6. 已知 $x \in (\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3})$ ， $\sin (x - \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ，则 $\tan (2 x + \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{24}{7}$ B、 $- \frac{7}{24}$ C、 $\frac{7}{24}$ D、 $\frac{24}{7}$

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7. 在边长为4的正三角形 $A B C$ 中，E，F分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点，将 $△ A E F$ 沿着 $E F$ 翻折至 $△ A^{'} E F$ ，使得 $A^{'} B ⊥ F C$ ，则四棱锥 $A^{'} - B C F E$ 的外接球的表面积是（）

A、 $8 π$ B、 $12 π$ C、 $16 π$ D、 $32 π$

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8. 已知点A，B，C都在双曲线 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 上，且点A，B关于原点对称， $∠ C A B = 90 °$ .过A作垂直于x轴的直线分别交 $Γ$ ， $B C$ 于点M，N.若 $\vec{A N} = 3 \vec{A M}$ ，则双曲线 $Γ$ 的离心率是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 国家统计局统计了2024年1月全国多个大中城市二手住宅销售价格的分类指数，其中北方和南方各4个城市的90m²及以下二手住宅销售价格的环比数据如下：
北方城市
环比（单位：%，上月=100）
南方城市
环比（单位：%，上月=100）
北京
99.5
上海
99.5
天津
99.6
南京
99.5
石家庄
99.6
南昌
99.6
沈阳
99.7
福州
99.8
则（）

A、4个北方城市的环比数据的极差小于4个南方城市的环比数据的极差 B、4个北方城市的环比数据的均值小于4个南方城市的环比数据的均值 C、4个北方城市的环比数据的方差大于4个南方城市的环比数据的方差 D、4个北方城市的环比数据的中位数大于4个南方城市的环比数据的中位数

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10. 已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，且 $\forall n \in N^{*}$ ， $\frac{a_{1} q^{n}}{1 - q} < 0$ ，则（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 是递增数列 B、数列 $\{a_{n}\}$ 是递减数列 C、若数列 $\{S_{n}\}$ 是递增数列，则 $q > 1$ D、若数列 $\{T_{n}\}$ 是递增数列，则 $q > 1$

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11. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 0]$ 上单调递增，且满足 $f (4 - x) = f (x)$ ， $f (2 - x) = - f (x)$ ，则（）

A、 $\sum_{k = 1}^{10} f (k) = 0$ B、 $f (0.9) + f (1.2) < 0$ C、 $f (2.5) > f (\log_{2} 80)$ D、 $f (\sin 1) < f (\ln \frac{1}{2})$

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12. ${(x^{2} - 2 y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{4} y^{3}$ 的系数是.（用数字作答）

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13. 已知集合 $A = {x | x^{2} + m x \leq 0}$ ， $B = {- \frac{1}{3}, m - 1}$ ，且 $A \cap B$ 有4个子集，则实数 $m$ 的最小值是.

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14. 已知函数 $f (x) = \sin ω x (ω > 0)$ ，若 $\exists x_{1}, x_{2} \in [\frac{π}{3}, π]$ ， $f (x_{1}) = - 1$ ， $f (x_{2}) = 1$ ，则实数 $ω$ 的取值范围是.

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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = 4$ ， $A C = 2$ ， $∠ C A B = 60 °$ ， $B C ⊥ A P$ .

(1)、证明：平面 $A C P ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $P A = 2$ ， $P B = 4$ ，求二面角 $P - A B - C$ 的平面角的正切值.

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16. 盒中有标记数字1，2的小球各2个.

(1)、若有放回地随机取出2个小球，求取出的2个小球上的数字不同的概率；

(2)、若不放回地依次随机取出4个小球，记相邻小球上的数字相同的对数为 $X$ （如1122，则 $X = 2$ ），求 $X$ 的分布列及数学期望 $E (X)$ .

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17. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2} - x + a s i n x$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、当 $x \in (0, π)$ 时， $f (x) > 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点到准线的距离为2，过点 $A (2, 2)$ 作直线交 $C$ 于M，N两点，点 $B (- 1, 1)$ ，记直线 $B M$ ， $B N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、求 $3 k_{1} k_{2} - 2 (k_{1} + k_{2})$ 的值；

(3)、设直线 $B M$ 交C于另一点Q，求点B到直线 $Q N$ 距离的最大值.

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19. 已知 $k \in N^{*}$ ，集合 $X_{k} = \{x| x = 2^{i_{0}} + 2^{i_{1}} + \cdot \cdot \cdot + 2^{i_{k}}, 0 \leq i_{0} < i_{1} < \dots < i_{k},$ 其中 $i_{0}, i_{1}, \cdot \cdot \cdot, i_{k} \in N\}$ .

(1)、求 $X_{2}$ 中最小的元素；

(2)、设 $a = 2^{1} + 2^{3} \in X_{1}$ ， $b \in X_{1}$ ，且 $a + b \in X_{1}$ ，求 $b$ 的值；

(3)、记 $Y_{k} = X_{k} \cap (2^{k + n - 1}, 2^{k + n}]$ ， $n \in N^{*}$ ，若集合 $Y_{k}$ 中的元素个数为 $b_{n}$ ，求 $\sum_{m = 1}^{k + 1} \frac{b_{m}}{2^{m - 1}}$ .

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北方城市	环比（单位：%，上月=100）	南方城市	环比（单位：%，上月=100）
北京	99.5	上海	99.5
天津	99.6	南京	99.5
石家庄	99.6	南昌	99.6
沈阳	99.7	福州	99.8