人教版数学九年级全册知识点训练营——二次函数的图象和性质

试卷更新日期：2024-10-15 类型：复习试卷

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一、夯实基础

1. 将抛物线 $y = - x^{2} + 1$ 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为（）

A、 $y = - {(x + 2)}^{2} + 2$ B、 $y = - {(x - 2)}^{2}$ C、 $y = - {(x + 2)}^{2}$ D、 $y = - {(x - 2)}^{2} + 2$

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2. 如果三点 $P_{1} (1, y_{1})$ ， $P_{2} (3, y_{2})$ 和 $P_{3} (4, y_{3})$ 在抛物线 $y = - x^{2} + 6 x + c$ 的图象上，那么 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 与 $y_{3}$ 之间的大小关系是（）

A、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ B、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ C、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ D、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$

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3. 如图，过点D（1，3）的抛物线y=-x²+k的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则PC+PD的最小值为．

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4. 把二次函数 $y = {(x + 2)}^{2}$ 的图像沿y轴向上平移1个单位长度，与y轴的交点为C，则C点坐标是．

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二、能力提升

5. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $(- 3, 0)$ ，其对称轴为直线 $x = - \frac{1}{2}$ ，结合图象分析下列结论：① $a b c > 0$ ， ② $3 a + c < 0$ ， ③当 $x < 0$ 时，y随x的增大而增大，④ $\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} < 0$ ， ⑤若m，n（ $m < n$ ）为方程 $a (x + 3) (x - 2) + 3 = 0$ 的两个根，则 $m < - 3$ 且 $n > 2$ ．其中正确的结论有（）

A、①③ B、①②④ C、②④⑤ D、①④⑤

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6. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的 $y$ 与 $x$ 的部分对应值如下表：
$x$
…
$- 1$
$0$
$1$
$3$
…
$y$
…
$0$
$- 1.5$
$- 2$
$0$
…
根据表格中的信息，得到了如下的结论：
$①$ 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 可改写为 $y = a {(x - 1)}^{2} - 2$ 的形式；
$②$ 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象开口向下；
$③$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = - 1.5$ 的两个根为 $0$ 或 $2$ ；
$④$ 若 $y > 0$ ，则 $x > 3$ ．
其中所有正确的结论为．

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三、拓展创新

7. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1, 0)$ 顶点坐标是 $(1, t)$ ，与 $y$ 轴交点的纵坐标在 $- 1$ 和 $- 2$ 之间 $($ 不含端点 $) .$ 在以下结论中：
$① a - b + c = 0$ ；
$② 2 a - b = 0$ ；
$③ 4 a + 2 b + c < 0$ ；
$④$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c - t + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根；
$⑤ \frac{1}{3} < a < \frac{2}{3}$ ．
其中正确的结论有（）

A、 $2$ 个 B、 $3$ 个 C、 $4$ 个 D、 $5$ 个

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8. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象经过三点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ， $C (- 3 ， 0)$ ，且对称轴为直线 $x = - 1 .$ 有以下结论： $① a + b + c = 0$ ； $② 2 c + 3 b = 0$ ； $③$ 当 $- 2 < x_{1} < - 1$ ， $0 < x_{2} < 1$ 时，有 $y_{1} < y_{2}$ ； $④$ 对于任何实数 $k > 0$ ，关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = k (x + 1)$ 必有两个不相等的实数根 $.$ 其中结论正确的有（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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9. 如图是抛物线 $y_{1} = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象的一部分，抛物线的顶点是A，对称轴是直线 $x = 1$ ，且抛物线与x轴的一个交点为 $B (4, 0)$ ；直线AB的解析式为 $y_{2} = m x + n (m \neq 0)$ ，下列结论：① $2 a + b = 0$ ；② $a b c > 0$ ；③方程 $a x^{2} + b x + c = m x + n$ 有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是 $(- 1, 0)$ ；⑤当 $1 < x < 4$ 时，则 $y_{1} > y_{2}$ ，其中正确的是（）

A、①② B、①③⑤ C、①④ D、①④⑤

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10. 如图，在平面直角坐标系xOy中， $O$ 为坐标原点，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的对称轴为 $x =$ 1，与 $x$ 轴的一个交点位于 $(2, 0), (3, 0)$ 两点之间.下列结论：① $2 a + b > 0$ ；② $b c < 0$ ；③ $a < - \frac{1}{3}$ $c$ ；④若 $x_{1}, x_{2}$ 为方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个根，则 $- 3 < x_{1} \cdot x_{2} < 0$ .其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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11. 如图所示，抛物线y＝x²+2x﹣3顶点为Q，交x轴于点E、F两点（F在E的右侧），T是x轴正半轴上一点，以T为中心作抛物线y＝x²+2x﹣3的中心对称图形，交x轴于点K、L两点（L在K的右侧），已知∠FQL＝45°，则新抛物线的解析式为．

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$x$	…	$- 1$	$0$	$1$	$3$	…
$y$	…	$0$	$- 1.5$	$- 2$	$0$	…