数轴的线段和差、n等分模型—北师大版数学七（上）知识点训练

试卷更新日期：2024-10-15 类型：复习试卷

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一、数轴的线段和差模型

1. 如图，数轴上A、B两点之间的距离为20，有一根木棒MN（M在N的左侧），当N移动到与A、B其中一个端点重合时，点M所对应的数为8，点N到AB中点时，点M所对应的数为．

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2. 如图，数轴上有三个点A ， B ， C ，表示的数分别是 $- 4 ， - 2 ， 3$ ．

(1)、若使C、B两点的距离是A、B两点的距离的3倍，则需将点C向右移动个单位；

(2)、点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒a个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒：
①点A、B、C表示的数分别是 ▲ 、 ▲ 、 ▲ （用含a、t的代数式表示）；
②若点B与点C之间的距离表示为 $d_{1}$ ，点A与点B之间的距离表示为 $d_{2}$ ，当a为何值时 $d_{1} + d_{2}$ 的值不会随着时间t的变化而改变．

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3. 如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且 $A B = 20$ ．

(1)、写出数轴上点B表示的数______；

(2)、|5－3|表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如 $|x - 3|$ 的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索：
①：若 $|x - 8| = 2$ ，则 $x =$ ______．
②： $|x + 12| + |x - 8|$ 的最小值为______；

(3)、动点P从O点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（ $t > 0$ ）秒．求当t为______时A，P两点之间的距离为2．

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4. 已知有理数a，b满足： $| a - 2 b | + {(2 - b)}^{2} = 0 .$ 如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段BC在直线OA上运动(点B在点C的左侧) ， $B C = b,$
下列结论：① $a = 4, b = 2;$ ②当点B与点O重合时， $A C = 3;$
③当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则. $P O + P A = 2 P B;$
④在线段BC运动过程中，若M为线段OB的中点，N为线段AC的中点，则线段MN的长度不变.其中正确的是( )

A、①③ B、①④ C、①②③④ D、①③④

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5. 已知多项式 $3 m^{3} n^{2} - 8 m n^{3} - 2$ 中，多项式的项数为a，四次项的系数为b，常数项为c，且a，b，c的值分别是点A、B、C在数轴上对应的数，点P从B点出发，沿数轴向右以1单位/s的速度匀速运动，点Q从点A出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发．

(1)、求a（b﹣c）的值；

(2)、若点Q运动速度为3单位/s，经过多长时间P、Q两点相距5？

(3)、O是数轴上的原点，当点P运动在原点左侧上时，分别取OP和AC的中点E、F，试问 $\frac{A P - O C}{E F}$ 的值是否变化，若变化，求出其范围；若不变，求出其值．

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6. 阅读：如图，已知数轴上有 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三个点，它们表示的数分别是 $- 18$ ， $- 8$ ， $+ 8$ ． $A$ 到 $C$ 的距离可以用 $A C$ 表示，计算方法： $A C = | (+ 8) - (- 18) | = 26$ ，或 $A C = | (- 18) - (+ 8) | = 26$ ．根据阅读完成下列问题：

(1)、填空： $A B =$ ， $B C =$ ．

(2)、若点 $A$ 以每秒 $1$ 个单位长度的速度向左运动，同时，点 $B$ 和点 $C$ 分别以每秒 $4$ 个单位长度和 $9$ 个单位长度的速度向右运动，试探索： $B$ 到 $C$ 的距离与 $A$ 到 $B$ 的距离的差（即 $B C - A B$ ）的值是否随着时间 $t$ 的变化而改变？请说明理由．

(3)、现有动点 $P$ 、 $Q$ 都从 $A$ 点出发，点 $P$ 以每秒 $1$ 个单位长度的速度向右移动，当点 $P$ 移动 $6$ 秒时，点 $Q$ 才从 $A$ 点出发，并以每秒 $2$ 个单位长度的速度向右移动．设点 $P$ 移动的时间为 $t$ 秒（ $0 \leq t \leq 19$ ），直接写出 $P$ 、 $Q$ 两点间的距离 $P Q$ （用含 $t$ 的代数式表示）．

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7. 如图，已知数轴上点A表示的数为 $- 10$ ， B是数轴上在A右侧的一点，且A，B两点间的距离为16．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（ $t > 0$ ）秒．

(1)、数轴上点B表示的数是，点P表示的数是（用含t的代数式表示）；

(2)、在点P开始运动后第几秒时，P到A、B两点的距离之和为20，请说明理由；

(3)、若动点Q同时从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，试判断： $2 A Q - A P$ 的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由．

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8. 对于数轴上的三点A ， B ， C ，给出如下定义：若 $A C + C B = m$ ，则称点C叫做点A ， B的“距离和m点”．如图，点A表示的数为 $- 3$ ，点B表示的数为2，点C表示的数为0．由于 $A C + B C = 5$ ，则点C为点A ， B的“距离和5点”；由于 $A C + A B = 8$ ，则点A为点B ， C的“距离和8点”．

(1)、若点N表示的数为 $- 2$ ，点N为点A ， B的“距离和m点”，求m的值；

(2)、点D在数轴上，若点D是点A ， B的“距离和7点”，求点D表示的数；

(3)、点E在数轴上，若点E ， A ， B中的一点是另两点的“距离和6点”，求点E所表示的数．

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二、数轴的中点与n等分模型

9. 如图，点A、B、C在同一条直线上，点 $D$ 为BC的中点，点 $P$ 为AC延长线上一动点 $(A D \neq D P)$ ，点 $E$ 为AP的中点，则 $\frac{A C - B P}{D E}$ 的值是.

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10. 点 $O$ 为数轴的原点，点 $A$ ， $B$ 在数轴上分别表示数 $a$ ， $b$ ，且 $a$ ， $b$ 满足 $(a + 5)^{2} + | b - 3 | = 0$ ．

(1)、填空： $a =$ ， $b =$ ．

(2)、如图 $1$ ，在数轴上有点 $M$ ，若点 $M$ 到点 $B$ 的距离是点 $M$ 到点 $A$ 的距离的 $3$ 倍，求点 $M$ 在数轴上表示的数；

(3)、如图 $2$ 在数轴上有两个动点 $P$ ， $Q$ ，点 $P$ ， $Q$ 同时分别从 $A$ ， $B$ 出发沿数轴正方向运动，点 $P$ 的运动速为 $m$ 个单位 $/$ 秒，点 $Q$ 的运动速度为 $n$ 个单位 $/$ 秒，在运动过程中，取线段 $A Q$ 的中点 $C ($ 点 $C$ 始终在线段 $P Q$ 上 $)$ ，若线段 $P C$ 的长度总为一个固定的值，求出 $m$ 与 $n$ 的数量关系．

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11. [知识背景]：
数轴上，点A ， B表示的数为a ， b ，则A ， B两点的距离AB＝|a﹣b|，A、B的中点P表示的数为 $\frac{a + b}{2}$ ．
[知识运用]：
若线段AB上有一点P ，当PA＝PB时，则称点P为线段AB的中点．已知数轴上A ， B两点对应数分别为a和b ，（a+2）²+|b﹣4|＝0，P为数轴上一动点，对应数为x ．

(1)、a＝， b＝；

(2)、若点P为线段AB的中点，则P点对应的数x为．若B为线段AP的中点时，则P点对应的数x为．

(3)、若点A、点B同时向左运动，点A的速度为1个单位长度/秒，点B的速度为3个单位长度/秒，则经过多长时间点B追上点A？（列一元一次方程解应用题）此时点B表示的数是．

(4)、若点A、点B同时向左运动，它们的速度都为1个单位长度/秒，与此同时点P从﹣16处以2个单位长度/秒的速度向右运动，经过多长时间后，点A、点B、点P三点中其中一点是另外两点的中点？（直接写出答案）．

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12. 【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合，研究数轴我们发现了许多重要规律．
例如：①若数轴上点A ， B表示的数分别为a ， b ．则A ， B两点之间的距离为 $A B = | a - b |$ ，线段 $A B$ 的中点表示的数为 $\frac{a + b}{2}$ ．
②若在数轴上一个点表示的数为a ，则向左运动 $b (b > 0)$ 个单位后表示的数为 $a - b$ ，向右运动 $b (b > 0)$ 个单位后所表示的数为 $a + b$ ．
【综合应用】
如图，点A表示的数为 $- 1$ ，点B所表示的数为5．

(1)、填空：
① $A B$ 的中点所表示的数为；
②若 $B C = 2$ ，则点C表示的数为．

(2)、点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．同时，点Q从点B出发，以每秒v个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．
①P、Q运动过程中，当点B正好是 $P Q$ 的中点时， $A P = \frac{2}{3} A B$ ，求点Q的速度v ．
②若点Q保持①中的速度继续运动，当点P运动到 $B Q$ 的三等分点时，求P的运动时间t ．

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13. 如图
【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合。研究数轴时，我们发现有许多重要的规律：若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB=|a-b|，线段AB的中点表示的数为 $\frac{a + b}{2} .$
【知识应用】如图，在数轴上，点A表示的数为5，点B表示的数为3，点C表示的数为-2，点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动。设运动时间为ts，t>0.根据以上信息，回答下列问题：

(1)、①A，C两点之间的距离AC = ，线段BC的中点表示的数为
②用含t的代数式表示：ts后点P表示的数为

(2)、若M为PA的中点，当t为何值时，MB $= \frac{1}{2}$ ？

(3)、【拓展提升】在数轴上，点D表示的数为9，点E表示的数为6，点F表示的数为-4，点G从点D，点H从点E同时出发，分别以每秒1个单位和每秒2个单位的速度沿数轴的负方向运动，且当它们各自到达点F时停止运动，设运动时间为t（s），线段GH的中点为K，当t为何值时，HK=3？

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14. 点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，且a、b满足| $| a + 1 | + {(b - 3)}^{2} = 0 .$

(1)、如图，求线段AB的长；

(2)、若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程 $2 x + 1 = \frac{1}{2} x - 2$ 的根，在数轴上是否存在点P使PA+PB=BC，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由；

(3)、如图，点P在B点右侧，PA的中点为M，N为PB靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①PM-2BN的值不变； $② P M - \frac{2}{3} B N$ 的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值.

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15. 点A、B在数轴上表示的数如图所示，动点P从点A出发，沿数轴向右以每秒1个单位长度的速度向点B运动到点B停止运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度向点A运动，到点A停止运动设点P运动的时间为t秒，P、Q两点的距离为d(x₀)个单位长度.

(1)、当 $t = 1$ 时， $d =$ .

(2)、当P、Q两点中有一个点恰好运动到线段AB的中点时，求d的值；

(3)、当点P运动到线段AB的3等分点时，直接写出d的值；

(4)、当d=5时，直接写出t的值.

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