人教版数学九年级全册知识点训练营——旋转的奔驰模型及费马点模型

试卷更新日期：2024-10-15 类型：复习试卷

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一、奔驰模型

1. 如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A ， B ， C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（　　）

A、 $9 + \frac{25 \sqrt{3}}{4}$
B、 $9 + \frac{25 \sqrt{3}}{2}$
C、 $18 + 25 \sqrt{3}$
D、 $18 + \frac{25 \sqrt{3}}{2}$

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2. 如图， $O$ 是正 $△ A B C$ 内一点， $O A = 3$ ， $O B = 4$ ， $O C = 5$ ，将线段BO以点 $B$ 为旋转中心逆时针旋转 $60 °$ 得到线段 $B O^{'}$ ，下列结论，① $△ B O^{'} A$ 可以由 $△ B O C$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到；②点 $O$ 与 $O^{'}$ 的距离为5；③ $∠ A O B = 150 °$ ；④四边形 $A O B O^{'}$ 面积 $= 6 + 4 \sqrt{3}$ ；⑤ $S_{△ A O C} + S_{△ A O B} = 6 + \frac{9}{4} \sqrt{3}$ ，其中正确的结论是（）

A、①④⑤ B、①③④ C、①③④⑤ D、①③⑤

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3. 如图，点D是等边△ABC内部的一点，∠ADC＝120°，AB²＝19， $\frac{A D}{C D} = \frac{2}{3}$ ，则线段BD的长度是．

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4. 如图1，P为正方形 $A B C D$ 内一点， $P A ： P B ： P C = 1 ： 2 ： 3$ ，求 $∠ A P B$ 的度数．
小明同学的想法是：不妨设 $P A = x$ ， $P B = 2 x$ ， $P C = 3 x$ ，设法把 $P A ， P B ， P C$ 相对集中，于是他将 $△ B C P$ 绕点B顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ B A E$ （如图2），然后连接 $P E$ ，问题得以解决．

(1)、求出图2中 $∠ A P B$ 的度数；

(2)、请你参考小明同学的方法，解答下列问题：
如图3，P是等边三角形 $A B C$ 内一点， $P A ： P B ： P C = 3 ： 4 ： 5$ ，求 $∠ A P B$ 的度数．

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5. 【问题背景】：如图1，点 $D$ 是等边 $△ A B C$ 内一点，连接 $A D, B D$ ，将 $△ A B D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到 $△ A C E$ ，连接 $D E$ ，观察发现： $B D$ 与 $C E$ 的数量关系为________，直线 $B D$ 与 $C E$ 所夹的锐角为________度；
【尝试应用】：如图2，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $A B = A C, ∠ B A C = 90 °$ ，点 $D$ 是等腰直角 $△ A B C$ 内一点，连接 $A D$ ， $B D$ ， $C D$ ，若 $A D = 2 \sqrt{2}, B D = 5, C D = 3$ ，求 $△ B C D$ 面积；

【拓展创新】：如图3，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C, ∠ B A C = 120 °$ ，点 $D$ 为平面内一点，且 $∠ A D B = 60 °, \frac{A D}{B D} = 3$ ，直接写 $\frac{A C}{C D}$ 的值为________．

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6. 阅读下面材料，并解决问题：

(1)、如图①，在等边 $△ A B C$ 内有一点 $P$ ，若点 $P$ 到顶点 $A 、 B 、 C$ 的距离分别为 $3 、 4 、 5$ ，求 $∠ A P B$ 的度数；为了解决本题，我们可以将 $△ A B P$ 绕顶点 $A$ 旋转到 $△ A C P^{'}$ 处，此时 $△ A C P^{'} ≌ △ A B P$ ，这样就可以利用旋转变换，将三条线段 $P A 、 P B 、 P C$ 转化到一个三角形中，从而求出 $∠ A P B$ 的度数，请你按照这个思路写出求解过程；
图①

(2)、能力提升
如图②，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = 1 ， ∠ A B C = 30 °$ ，点 $O$ 为 $R t △ A B C$ 内一点，连接 $A O 、 B O 、 C O$ ，且 $∠ A O C = ∠ C O B = ∠ B O A = 120 °$ ，直接写出 $O A + O B + O C$ 的值．
图②

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7. 阅读下面材料，并解决问题：

(1)、如图①，在等边△ABC内有一点P ，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3、4、5，求∠APB的度数；为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处，此时△ACP'≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB的度数，请你按照这个思路写出求解过程；

(2)、能力提升
如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，∠ABC=30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，直接写出OA+OB+OC的值．

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8. 问题解决
一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P是等边 $△ A B C$ 内的一点， $P A = 6$ ， $P B = 8$ ， $P C = 10$ .你能求出 $∠ A P B$ 的度数和等边 $△ A B C$ 的面积吗?小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
如图①将 $△ B P C$ 绕点B逆时针旋转 $60 °$ ，得到 $△ B P^{'} A$ ，连接 $P P^{'}$ ，可得 $△ B P P^{'}$ 是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得 $△ A P^{'} P$ 是直角三角形，从而使问题得到解决.

(1)、结合小明的思路完成填空： $P P^{'} =$ ， $∠ A P P^{'} =$ ， $∠ A P B =$ ， $S_{△ A B C} =$ .

(2)、类比探究
①.如图②，若点P是正方形 $A B C D$ 内一点， $P A = 1$ ， $P B = 2$ ， $P C = 3$ ，求 $∠ A P B$ 的度数和正方形的面积.
②.如图③，若点P是正方形 $A B C D$ 外一点， $P A = 3$ ， $P B = 1$ ， $P C = \sqrt{11}$ ，求 $∠ A P B$ 的度数和正方形的面积.

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9. 阅读下面材料，并解决问题：

(1)、如图 $①$ 等边 $△ A B C$ 内有一点 $P$ ，若点 $P$ 到顶点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的距离分别为 $3$ ， $4$ ， $5$ ，求 $∠ A P B$ 的度数．

为了解决本题，我们可以将 $△ A B P$ 绕顶点 $A$ 旋转到 $△ A C P'$ 处，此时 $△ A C P'$ ≌ $△ A B P$ ，这样就可以利用旋转变换，将三条线段 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ 转化到一个三角形中，从而求出 $∠ A P B =$ ；

(2)、基本运用
请你利用第 $(1)$ 题的解答思想方法，解答下面问题：
如图 $②$ ， $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $E$ 、 $F$ 为 $B C$ 上的点且 $∠ E A F = 45 °$ ，求证： $E F^{2} = B E^{2} + F C^{2}$ ；

(3)、能力提升
如图 $③$ ，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 1$ ， $∠ A B C = 30 °$ ，点 $O$ 为 $R t △ A B C$ 内一点，连接 $A O$ ， $B O$ ， $C O$ ，且 $∠ A O C = ∠ C O B = ∠ B O A = 120 °$ ，求 $O A + O B + O C$ 的值．

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10. 回答下列问题：

(1)、如图1，AB＝BC，当∠ABC＝90°时，将△PAB绕B点顺时针旋转90°，画出旋转后的图形．

(2)、在（1）中，若PA＝2，PB＝4，PC＝6，求∠APB的大小．

(3)、如图2，∠ABC＝60°，AB＝BC，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，则△APC面积是．

(4)、如图3，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2AC，点P在△ABC内，且PA＝ $\sqrt{3}$ ， PB＝5，PC＝2，求△ABC的面积．

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11. 阅读下面材料：
张明同学遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且 $P A = 3$ ， $P B = 4$ ， $P C = 5$ ，求 $∠ A P B$ 的度数．
张明同学是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造 $△ A P^{'} C$ ，连接 $P P^{'}$ ，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．

(1)、请你计算图1中 $∠ A P B$ 的度数；

(2)、参考张明同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，在正方形 $A B C D$ 内有一点 $P$ ，且 $P A = 2 \sqrt{2}$ ， $P B = 1$ ， $P D = \sqrt{17}$ ，求 $∠ A P B$ 的度数．

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二、费马点模型

12. 如图，已知 $∠ B A C = 60 °$ ， AB=4，AC=6，点P在 $Δ A B C$ 内，将 $Δ A P C$ 绕着点A逆时针方向旋转60°得到 $Δ A E F$ .则AE+PB+PC的最小值为（）

A、 $10$ B、 $2 \sqrt{19}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{13}$

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13. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 6$ ，点 $E$ 是矩形内一个动点，且满足 $S_{Δ B C E} = \frac{1}{3} S_{矩形 A B C D}$ ，点 $P$ 是 $Δ E B C$ 内一个点，则 $P E + P B + P C$ 的最小值为．

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14. 如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，斜边AC＝4，点P是三角形内的一动点，则PA+PB+PC的最小值是．

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15. 如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90^{\circ}$ ，点P为 $ΔABC$ 内一点，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值，小华的解题思路，以点A为旋转中心，将 $ΔAPB$ 顺时针旋转 $60^{\circ}$ 得到 $ΔAMN$ ，那么就将求PA+PB+PC的值转化为求PM+MN+PC的值，连接CN，当点P，M落在CN上时，此题可解.

(1)、请判断 $ΔAPM$ 的形状，并说明理由；

(2)、请你参考小华的解题思路，证明PA+PB+PC=PM+MN+PC；

(3)、当 $AC = BC = 2$ ，求PA+PB+PC的最小值.

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16. 阅读下面材料，并解决问题：

(1)、如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP^'处，此时△ACP^'≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ ▲ ；

(2)、基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF²＝BE²+FC²；

(3)、能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．

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