贵州省六盘水市盘州市第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2024-05-29 类型：期末考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = \{- 3, 0, 5\}, B = {x |x > 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 3\}$ B、 $\{- 3, 0\}$ C、 $\{5\}$ D、 $\{0, 5\}$

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2. 已知复数 $z_{1} = - 1 + 3 i, z_{2} = a + b i^{3} (a, b \in R)$ 且 $z_{1} = z_{2}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $a + b =$ （）

A、－4 B、－3 C、－2 D、0

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3. 抛物线 $y = 8 x^{2}$ 的焦点到其准线的距离为（）

A、 $\frac{1}{32}$ B、 $\frac{1}{16}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、4

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4. 若方程 $\frac{x^{2}}{4 - m^{2}} - \frac{y^{2}}{1 + m} = 1$ 表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - 2)$ B、 $(- 2 ， - 1)$ C、 $(- 2 ， 2)$ D、 $(- 1 ， 1)$

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5. 数列 $- 2$ ， 4， $- \frac{26}{3}$ ， 20，……的一个通项公式可以是（）

A、 $a_{n} = {(- 1)}^{n} \cdot 2 n$ B、 $a_{n} = {(- 1)}^{n} \cdot \frac{3^{n} - 1}{n}$ C、 $a_{n} = {(- 1)}^{n} \cdot \frac{2^{n + 1} - 2}{n}$ D、 $a_{n} = {(- 1)}^{n} \cdot \frac{3^{n} - n}{n}$

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6. 函数 $f (x) = \frac{2 \cos x - 1}{2^{x} - 2^{- x}}$ 的部分图象大致是

A、 B、 C、 D、

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7. 已知向量 $\vec{m} = (1 ， 2 ， - 1), \vec{n} = (t ， 1 ， - t)$ ，且 $\vec{m} ⊥$ 平面 $α, \vec{n} ⊥$ 平面 $β$ ，若平面 $α$ 与平面 $β$ 的夹角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，则实数 $t$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ 或 $- 1$ B、 $\frac{1}{5}$ 或1 C、 $- 1$ 或2 D、 $- \frac{1}{2}$

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8. 已知直线l：x－my＋4m－3＝0（m∈R），点P在圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上，则点P到直线l的距离的最大值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 在等比数列{ $a_{n}$ }中， $a_{2} = 2, a_{6} = 32$ ，则{ $a_{n}$ }的公比可能为（）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、2 D、4

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10. 若直线 $a ⊄$ 平面 $α$ ，且直线 $a$ 不平行于平面 $α$ .给出下列结论正确的是（）

A、 $α$ 内的所有直线与 $a$ 异面 B、 $α$ 内存在直线与 $a$ 相交 C、 $α$ 内存在唯一的直线与 $a$ 平行 D、 $α$ 内不存在与 $a$ 平行的直线

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11. 设点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左、右焦点，点 $P$ 是椭圆 $C$ 上任意一点，若使得 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = m$ 成立的点恰好是4个，则实数 $m$ 的取值可以是（）

A、1 B、3 C、5 D、4

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12. 已知抛物线C： $y^{2} = 12 x$ ，点F是抛物线C的焦点，点P是抛物线C上的一点，点 $M (4, 3)$ ，则下列说法正确的是（）

A、抛物线C的准线方程为 $x = - 3$ B、若 $|P F| = 7$ ，则△PMF的面积为2 $\sqrt{3} - \frac{3}{2}$ C、 $|P F| - | P M$ |的最大值为 $\sqrt{10}$ D、△PMF的周长的最小值为 $7 + \sqrt{10}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 设 $\vec{a}, \vec{b}$ 为单位向量，且 $| \vec{a} + \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ .

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14. 过点 $A (3 ， - 1)$ 且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 $.$

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15. 已知四位数 $4521$ ，任意交换两个位置的数字之后，两个奇数相邻的概率为.

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16. 已知各项均为正数的递增等差数列 $\{a_{n}\}$ ，其前n项和为 $S_{n}$ ，公差为d，若数列 $\{\sqrt{S_{n}}\}$ 也是等差数列，则 $a_{1} + \frac{8}{d + 2}$ 的最小值为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, S_{3} = 15, S_{12} = 222$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 已知半径为2的圆 $C$ 的圆心在射线 $y = x (x > 0)$ 上，点 $A (- 1, 1)$ 在圆 $C$ 上．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、求过点 $B (- 1, 0)$ 且与圆 $C$ 相切的直线方程．

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19. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，设 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，且满足 $S = \frac{\sqrt{3}}{4} (a^{2} + b^{2} - c^{2})$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、求 $\sin A \cdot \sin B$ 的最大值.

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20. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $b > 0$ ），直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点．

(1)、若点 $(4, 0)$ 是双曲线 $C$ 的一个焦点，求双曲线 $C$ 的渐近线方程；

(2)、若点 $P$ 的坐标为 $(- \sqrt{2}, 0)$ ，直线 $l$ 的斜率等于1，且 $|P Q| = \frac{8}{3}$ ，求双曲线 $C$ 的离心率．

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21. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 4$ ， $A D = 2$ ， $\vec{A E} = \frac{1}{4} \vec{A B}$ .

(1)、证明： $A C ⊥$ 平面 $D D_{1} E$ ；

(2)、求直线 $D_{1} E$ 与平面 $D E C_{1}$ 所成角的正弦值.

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22. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长和焦距相等，长轴长是 $2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、直线l与椭圆C相交于P，Q两点，原点O到直线l的距离为 $\frac{3 \sqrt{5}}{10}$ ．点M在椭圆C上，且满足 $\vec{O M} = \vec{O P} + \vec{O Q}$ ，求直线l的方程．

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