云南省保山市第一中学2023-2024学年高一下学期期中教学质量监测数学试卷

试卷更新日期：2024-06-07 类型：期中考试

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{- 3, - 1\}$ ，那么集合 $A \cap B$ 等于（）

A、 $\{- 3, - 1, 1, 3\}$ B、 $\{- 3, - 1, 1, 2, 3\}$ C、 $\{- 1, 1\}$ D、 $\emptyset$

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2. 如图，矩形 $O' A' B' C'$ 是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中 $O' A' = 5$ ， $O' C' = \sqrt{2}$ ，则原图形的面积是（）

A、20 B、10 C、 $5 \sqrt{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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3. 已知圆锥的体积为2，高为3，则其底面半径为（）

A、 $\frac{\sqrt{π}}{π}$ B、 $\frac{\sqrt{2π}}{π}$ C、 $\frac{2 \sqrt{π}}{π}$ D、 $\frac{2}{π}$

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4. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是棱 $A_{1} C_{1}$ ， $B C$ 的中点，则下列结论中正确的是（）

A、 $A F$ 与 $C_{1} C$ 异面 B、 $A E$ 与 $C_{1} C$ 异面 C、 $E F \subset$ 平面 $A_{1} C_{1} C$ D、 $A F \subset$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$

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5. 若复数z满足 $- 2 \bar{z} = 5 + i$ （ $i$ 为虚数单位）， $\bar{z}$ 是z的共轭复数，则复数z在复平面内对应的点所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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6. 在△ABC中， $a = \sqrt{2}$ ， $b = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ， $A = 45 °$ ，则 $\cos B =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ B、 $- \frac{\sqrt{10}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ D、 $\pm \frac{\sqrt{10}}{4}$

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7. 已知三棱锥P-ABC，满足 $∠ P A B = ∠ P A C = ∠ A B C = \frac{π}{2}$ ， $P A = A C = 2 A B = 2$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的表面积为（）

A、 $\frac{6 + \sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{15}}{2}$ C、 $\frac{6 + \sqrt{3} + \sqrt{15}}{2}$ D、 $\frac{6 + \sqrt{3} + 2 \sqrt{15}}{2}$

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8. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不共线， $\vec{A B} = 2 \vec{a} + λ \vec{b}$ ， $\vec{A C} = (λ - 1) \vec{a} + 2 \vec{b}$ ，若A，B，C三点共线，则实数 $λ$ 等于（）

A、 $\frac{1 \pm \sqrt{15}}{2}$ B、 $\frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{2}$ C、 $\frac{- 1 \pm \sqrt{15}}{2}$ D、 $\frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$

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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 下列选项中，符号为负的是（）

A、 $\sin \frac{3 π}{2}$ B、 $c o s \frac{3 π}{2}$ C、 $\tan 2$ D、 $cos 2$

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10. 已知a， $b \in R$ ， $2 a - 1 + (b - 1) i = 0$ ， $z = {(1 + i)}^{2 a + b}$ ，则（）

A、 $a = 1$ B、 $b = 1$ C、 $z \cdot \bar{z} = 4$ D、 $\frac{2}{z} = i$

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11. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{x}, x < 0 \\ 1 - x^{2}, x > 0 \end{array}$ ，下列关于函数 $f (x)$ 的结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的定义域为R B、 $f (x)$ 的值域为 $(- \infty, 1)$ C、 $f (f (- 1)) = - 3$ D、 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 上单调递增

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 已知平面向量 $\vec{a} = (1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 2, 5)$ ，则 $|2 \vec{a} - \vec{b}| =$ ．

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13. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $a = 5$ ， $b = 7$ ， $c = 8$ ，则 $△ A B C$ 的面积是．

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14. 米斗是我国古代称量粮食的量器，是官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具，其外形近似一个正四棱台.米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化的味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品.已知一个米斗上下底面边长分别为 $5 \sqrt{5}$ 和 $2 \sqrt{5}$ ，侧棱长为 $5 \sqrt{3}$ ，则其外接球的体积为.

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四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 如图，已知单位圆O与x轴正半轴交于点M，点A，B在单位圆上，其中点A在第一象限，且 $∠ A O B = \frac{2 π}{3}$ ，记 $∠ M O A = α$ ， $∠ M O B = β (β \in (\frac{2 π}{3}, \frac{7 π}{6}))$ ．

(1)、若 $α = \frac{π}{12}$ ，求点B的坐标；

(2)、若 $\sin α - \sin β = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $|M B|$ 的值．

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16. 如图，在正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点， $P B + P E$ 的最小值为 $\sqrt{21}$ ．

(1)、求该正四面体的棱长；

(2)、当 $P B + P E$ 取最小值时，求三棱锥A-PBE与三棱锥A-BCD体积之比．

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17. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (\frac{1 + 2 \sin x}{1 - 2 \sin x}) (a > 0, a \neq 1)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、判断并证明 $f (x)$ 的奇偶性.

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18. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $\vec{m} = (\sin A, \sin C + \sin B)$ ， $\vec{n} = (\sin A, \sin C - \sin B)$ ， $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、求角B；

(2)、求 $\frac{2 a + b}{c}$ 的取值范围.

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19. 人们把一元三次方程的求根公式称为卡尔达诺公式，该公式为：对不完全的一元三次方程 $x^{3} + p x + q = 0$ 的三个根分别为： $x_{1} = \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^{2}}{4} + \frac{p^{3}}{27}}} + \sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^{2}}{4} + \frac{p^{3}}{27}}}$ ， $x_{2} = w \cdot \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^{2}}{4} + \frac{p^{3}}{27}}} + w^{2} \cdot \sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^{2}}{4} + \frac{p^{3}}{27}}}$ ， $x_{3} = w^{2} \cdot \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^{2}}{4} + \frac{p^{3}}{27}}} + w \cdot \sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^{2}}{4} + \frac{p^{3}}{27}}}$ ，其中 $w = \frac{- 1 + \sqrt{3} i}{2}$ ， $i^{2} = - 1$ ．

(1)、求 $x^{3} + 8 = 0$ 的三个根；

(2)、求 $x^{3} + 3 x^{2} + 6 x + 4 \sqrt{2} + 4 = 0$ 的三个根．

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