浙江省杭州市“桐·浦·富·兴”教研联盟高二5月考试2023-2024学年高二下学期5月调研测试数学试题

试卷更新日期：2024-06-03 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{3} + a_{10} = 8$ ，则 $S_{12} =$ （）

A、36 B、48 C、96 D、24

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2. 某校一次数学考试成绩 $X$ 服从正态分布 $N (100, σ^{2})$ ，已知 $P (X \leq 90) = 0.2$ ，则 $P (100 \leq X \leq 110) =$ （）

A、0.15 B、0.25 C、0.3 D、0.2

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3. 已知随机变量 $X$ 的分布列如下，则 $E (X) =$ （）
$X$
1
2
3
$P$
$\frac{1}{2}$
$m$
$\frac{1}{3}$

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{11}{6}$ C、 $\frac{13}{6}$ D、 $\frac{5}{3}$

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4. 已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上可导，且满足 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{2 Δ x} = \frac{1}{2}$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线方程为（）

A、 $y = x$ B、 $y = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$ C、 $y = - x + 2$ D、 $y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$

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5. 已知 $A, B$ 是一个随机试验中的两个事件，且 $P (A) = \frac{1}{2}, P (\bar{B} ∣ A) = \frac{1}{3}$ ，则 $P (A B) =$ （）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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6. 某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲､乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在两端，不同的安排方法数有（）

A、24 B、12 C、48 D、36

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7. 已知函数 $f (x) = a (e^{x} - 1)$ ，对任意 $x \in (0, + ∞)$ ，总有 $f (x) \geq 2 x$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a \geq \frac{1}{2}$ B、 $0 < a \leq 2$ C、 $a \geq 2$ D、 $0 < a \leq \frac{1}{2}$

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8. 记 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数， $⟨x⟩ = x - [x]$ ，如 $[2.4] = 2, ⟨2.4⟩ = 0.4$ ，已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{1}{3} n - 2$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = 2 [a_{n}] - 3 ⟨a_{n}⟩$ ，则 $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots + b_{20} =$ （）

A、23 B、22 C、24 D、25

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 对两个变量 $x$ 和 $y$ 进行回归分析，则下列说法正确的是（）

A、在比较两个回归模型的拟合程度时，决定系数 $R^{2}$ 越大，拟合效果越好 B、若变量 $x$ 和 $y$ 具有线性相关关系，则回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 至少经过样本点的其中一个点 C、建立两个回归模型，模型1的线性相关系数 $r_{1} = - 0.98$ ，模型2的线性相关系数 $r_{2} = 0.8$ ，则模型1的线性相关性更强 D、残差图中的点均匀地分布在一条水平的带状区域内，该带状区域宽度越窄，模型的拟合效果越好

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10. 已知 $(2 x - 1)^{10} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} (x - 1)^{2} + ⋯ + a_{10} (x - 1)^{10}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{4} = a_{6}$ C、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + ⋯ + 10 a_{10} = 20 \times 3^{9}$ D、 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \frac{a_{3}}{2^{3}} + ⋯ + \frac{a_{10}}{2^{10}} = 1024$

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11. 已知函数 $f_{t} (x) = \frac{l n x}{x^{t}} (x > 0)$ ，其中 $t \in R$ ，则下列选项正确的是（）

A、若 $f_{- 1} (a) > f_{- 1} (b)$ ，则 $a > b$ B、 $\forall x \in (0, + ∞), f_{0} (x) \leq x - 1$ C、 $\exists a \in R$ ，使 $f_{1} (x) = f_{1} (a)$ 有两解，则 $a > 1$ D、 $f_{2} (x)$ 有最大值 $\frac{1}{2 e}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{2} = 2$ ，且 $a_{n} + a_{n + 1} + a_{n + 2} = 6$ ，则 $a_{10} =$ .

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13. 已知盒子内有大小相同，质地均匀的2个红球和3个白球，现从中取两个球，记随机变量 $X$ 为取出的红球的个数，则 $E (X) =$ .

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14. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f^{'} (x) + f^{'} (- x) = 0$ ，且 $f (4) = 9$ ，当 $x > 0$ 时， $f^{'} (x) > x$ ，则不等式 $f (x - 2) < \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 3$ 的解集为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2} + \frac{3}{4} x + 1 (a \in R)$ 在 $x = - 1$ 处的切线与直线 $4 x - y + 1 = 0$ 垂直.

(1)、求 $a$ ；

(2)、求 $f (x)$ 的极值.

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16. 为贯彻落实《健康中国行动（2023-2030年）》､《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》等文件精神，某高中学校学生发展中心随机抽查了100名学生，其中男生与女生人数之比为 $3 : 2$ ，并对他们进行了“是否喜欢体育运动”的问卷调查，得到如下统计结果：
性别
体育运动
合计
喜欢
不喜欢
男生
50
女生
15
合计

(1)、请根据要求完成 $2 \times 2$ 列联表，并根据独立性检验，判断是否有 $99 %$ 的把握认为“是否喜欢体育运动”与性别有关；

(2)、为了了解学生不喜欢体育运动的原因，从上述不喜欢体育运动的同学中随机选3位同学进行咨询，所选的3人中已知至少有两位是男生的条件下，求另外一位是女生的概率.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ .
$α$
0.10
0.05
0.01
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
10.828

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17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2}$ ，数列 ${b_{n}}$ 为等比数列，且 $b_{2} = 2, b_{5} = 16$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = a_{b_{n}}$ ，记数列 ${\frac{2^{n}}{c_{n} \cdot c_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $A_{n}$ ，数列 ${\frac{1}{c_{n} + 1}}$ 的前 $n$ 项和为 $B_{n}$ ，试比较 $A_{n}$ 与 $B_{n}$ 的大小.

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18. 有一款闯关游戏，其规则如下：一颗棋子位于数轴原点 $O$ 处，若掷出的骰子大于或者等于3，则棋子向右移动一个单位（从0移动到1），若掷出的骰子小于或者等于2，则棋子向右移动两个单位（从0移动到2），若棋子移动到99处，则“闯关失败”，若棋子移动到100处，则“闯关成功”，无论“闯关失败”或者“闯关成功”都将停止游戏，记棋子在坐标 $i$ 处的概率为 $P_{i}$ .

(1)、求 $P_{1}, P_{2}$ ；

(2)、求证： ${P_{i} - P_{i - 1}}$ 为等比数列（其中 $2 \leq i \leq 99$ ），并求出 $P_{i}$ ；

(3)、若有5人同时参加此游戏，记随机变量 $X$ 为“闯关成功”的人数，求 $E (X)$ （结果保留两位有效数字）.

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19. 已知函数 $f (x) = e^{a x} + (a - 1) x, a \in R$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = l n x (x > 0)$ 有两根 $x_{1}, x_{2}$ （其中 $x_{1} < x_{2}$ ），
①求 $a$ 的取值范围；
②当 $x_{2} < e x_{1}$ 时，求 $x_{1}$ 的取值范围.

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性别	体育运动		合计
性别	喜欢	不喜欢	合计
男生	50
女生		15
合计

$X$	1	2	3
$P$	$\frac{1}{2}$	$m$	$\frac{1}{3}$

$α$	0.10	0.05	0.01	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	10.828