2024年高考真题分类汇编八平面解析几何

试卷更新日期：2024-10-14 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 求圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 6 y = 0$ 的圆心到 $x - y + 2 = 0$ 的距离（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、2 C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{6}$

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2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2} . P$ 是双曲线右支上一点，且直线 $P F_{2}$ 的斜率为 $2 . △ P F_{1} F_{2}$ 是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{8} = 1$

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3. 已知曲线 $C : x^{2} + y^{2} = 16 (y > 0)$ ，从 $C$ 上任意一点 $P$ 向 $x$ 轴作垂线段 $P P^{^{'}}, P^{^{'}}$ 为垂足，则线段 $P P^{^{'}}$ 的中点 $M$ 的轨迹方程为（）.

A、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (y > 0)$ B、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{8} = 1 (y > 0)$ C、 $\frac{y^{2}}{16} + \frac{x^{2}}{4} = 1 (y > 0)$ D、 $\frac{y^{2}}{16} + \frac{x^{2}}{8} = 1 (y > 0)$

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4. 已知双曲线C： $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为F₁（0，-4）、F₂（0，4），且经过点P（﹣6，4），则双曲线C的离心率是（）

A、4 B、3 C、2 D、 $\sqrt{2}$

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5. 已知a ， b ， c成等差数列，直线ax+by+c＝0与圆C：x²+（y+2）²＝5交于A ， B两点，则|AB|的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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6. 已知双曲线C： $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右两个焦点分别为F₁（0，-4），F₂（0，4），点P（﹣6，4）在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）

A、4 B、3 C、2 D、 $\sqrt{2}$

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二、多项选择题

7. 抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的准线为 $l$ ， P为 $C$ 上动点，过 $P$ 作 $⊙ A : x^{2} + (y - 4)^{2} = 1$ 的一条切线， $Q$ 为切点，过点 $P$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $B$ ．则（）．

A、 $l$ 与 $⊙ A$ 相切 B、当P，A，B三点共线时， $| P Q | = \sqrt{15}$ C、当 $| P B | = 2$ 时， $P A ⊥ A B$ D、满足 $| P A | = | P B |$ 的点P有且仅有2个

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8. 造型∝可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线C的一部分，已知C过坐标原点O ，且C上的点满足横坐标大于﹣2，到点F（2，0）的距离与到定直线x＝a（a＜0）的距离之积为4，则（）

A、a＝﹣2 B、点 $(2 \sqrt{2}, 0)$ 在C上 C、C在第一象限的纵坐标的最大值为1 D、当点（x₀ ， y₀）在C上时， $y_{0} \leq \frac{4}{x_{0} + 2}$

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三、填空题

9. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ ，则过 $(3, 0)$ 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为．

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10. 已知抛物线 $y^{2} = 16 x$ ，则焦点坐标为．

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11. 若函数 $f (x) = 2 \sqrt{x^{2} - a x} - | a x - 2 | + 1$ 有零点，则 $a$ 的取值范围为.

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12. $(x - 1)^{2} + y^{2} = 25$ 的圆心与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点重合， $A$ 为两曲线的交点，求原点到直线AF的距离.

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13. 设双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，过F₂作平行于y轴的直线交C与A ， B两点，若|F₁A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为．

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14. 三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为．

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15. 直线x﹣y+1＝0的倾斜角大小为．

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16. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上有一点P到准线的距离为9，那么P到x轴的距离为.

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17. 正方形草地ABCD边长1.2，E到AB ， AD距离为0.2，F到BC ， CD距离为0.4，有个圆形通道经过E ， F ，且与AD只有一个交点，求圆形通道的周长．（精确到0.01）

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四、解答题

18. 已知椭圆方程C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过 $(0, t)$ $(t > \sqrt{2})$ 的直线l与椭圆交于A ， B ， $C (0, 1)$ ，连接AC交椭圆于D ．

(1)、求椭圆方程和离心率；

(2)、若直线BD的斜率为0，求t ．

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19. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 椭圆的离心率 $e = \frac{1}{2}$ .左顶点为 $A$ ，下顶点为B，C是线段OB的中点，其中 $S_{△ A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆方程.

(2)、过点 $(0, - \frac{3}{2})$ 的动直线与椭圆有两个交点P，Q.在 $y$ 轴上是否存在点 $T$ 使得 $\vec{T P} \cdot \vec{T Q} \leq 0$ .若存在求出这个 $T$ 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由.

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20. 已知双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = m (m > 0)$ ，点 $P_{1} (5, 4)$ 在 $C$ 上， $k$ 为常数， $0 < k < 1$ ．按照如下方式依次构造点 $P_{n} (n = 2, 3, ⋯)$ ，过点 $P_{n - 1}$ 作斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 的左支交于点 $Q_{n - 1}$ ，令 $P_{n}$ 为 $Q_{n - 1}$ 关于 $y$ 轴的对称点，记 $P_{n}$ 的坐标为 $(x_{n}, y_{n})$ ．

(1)、若 $k = \frac{1}{2}$ ，求 $x_{2}, y_{2}$ ．

(2)、证明：数列 ${x_{n} - y_{n}}$ 是公比为 $\frac{1 + k}{1 - k}$ 的等比数列．

(3)、设 $S_{n}$ 为 $△ P_{n} P_{n + 1} P_{n + 2}$ 的面积，证明：对任意的正整数 $n, S_{n} = S_{n + 1}$ ．

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F ，点M（1， $\frac{3}{2}$ ）在椭圆C上，且MF⊥x轴．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点P（4，0）的直线与椭圆C交于A ， B两点，N为线段FP的中点，直线NB与MF交于Q ，证明：AQ⊥y轴．

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22. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F ，点M（1， $\frac{3}{2}$ ）在椭圆C上，且MF⊥x轴．

(1)、求C的方程；

(2)、过点P（4，0）的直线与椭圆C交于A ， B两点，N为FP的中点，直线NB与MF交于Q ，证明：AQ⊥y轴．

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23. 已知A（0，3）和P（3， $\frac{3}{2}$ ）为椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ ＝1（a＞b＞0）上两点．

(1)、求C的离心率；

(2)、若过P的直线l交C于另一点B ，且△ABP的面积为9，求l的方程．

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24. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 上一点，F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点．

(1)、若点A的横坐标为2，求|AF₁|的长；

(2)、设Γ的上、下顶点分别为M₁、M₂ ，记△AF₁F₂的面积为S₁ ， △AM₁M₂的面积为S₂ ，若S₁≥S₂ ，求|OA|的取值范围．

(3)、若点A在x轴上方，设直线AF₂与Γ交于点B ，与y轴交于点K ， KF₁延长线与Γ交于点C ，是否存在x轴上方的点C ，使得 $\vec{F_{1} A} + \vec{F_{1} B} + \vec{F_{1} C} = λ (\vec{F_{2} A} + \vec{F_{2} B} + \vec{F_{2} C}) (λ \in R)$ 成立？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

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25. 双曲线 $Γ : x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ， $(b > 0)$ ， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 为左右顶点，过点 $M (- 2, 0)$ 的直线l交双曲线 $Γ$ 于两点P、Q ，且点P在第一象限.

(1)、若 $e = 2$ 时，求b.

(2)、若 $b = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ， $△ M A_{2} P$ 为等腰三角形时，求点 $P$ 的坐标.

(3)、过点Q作OQ延长线交 $Γ$ 于点R ，若 $\vec{A_{1} R} \cdot \vec{A_{2} P} = 1$ ，求b取值范围.

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三、填空题

四、解答题

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