四川省成都市第十二中学(四川大学附属中学)2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-05-23 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求.

1. 已知复数 $z$ 满足 $i z = 1 - i$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、1 B、-1 C、 $i$ D、 $- i$

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2. 计算： $s i n 20 ° s i n 80 ° + c o s 20 ° s i n 170 ° =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，若 $a = \sqrt{3}$ ， $b = 1$ ， $B = \frac{π}{6}$ ，则 $c =$ ( )

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、1或2 D、2或 $\sqrt{3}$

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4. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ B、 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$ C、 $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}$ D、 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$

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5. 中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比 $m = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的近似值，古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用 $2 \sin 18 °$ 表示，即 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} = 2 \sin 18 °$ ，则 $\frac{\cos 18 °}{(2 - m^{2}) \cdot \sin 36 °}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 1$

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6. “元素周期大厦”是百年名校川大附中校园里的标志性建筑之一.如图，身高1.6m的李红同学为了测量该建筑的高度，在其正前方A处观察建筑的顶端的仰角为30°，然后向前行走 $(2 \sqrt{3} - 2) m$ 到B处，观察其顶端的仰角为45°，则此建筑的高度大约为（）

A、2.6m B、3.2m C、3.6m D、4m

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $M$ 是 $A B$ 上的点且满足 $\vec{A M} = 3 \vec{M B}$ ， $N$ 是 $A C$ 上的点且满足 $\vec{A N} = \vec{N C}$ ， $C M$ 与 $B N$ 交于 $P$ 点，且 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{5}$

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8. 如图，已知 $A O B$ 是半径为 $4$ ，圆心角为 $\frac{π}{2}$ 的扇形，点 $E ， F$ 分别是 $O A ， O B$ 上的两动点，且 $E F =2$ ，点 $P$ 在圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上，则 $\vec{P E} ⋅ \vec{P F}$ 的最小值为（）

A、 $4$ B、 $8$ C、 $19−8 \sqrt{2}$ D、 $16−8 \sqrt{2}$

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二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9. 下列命题中正确的是（）

A、若 $z = 1 - 2 i$ ，则 $|z| = \sqrt{5}$ B、若 $z = i + 1$ ，则 $z \cdot \bar{z} = - 2$ C、已知 $m, n \in R$ ， $i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 的一个根，则 $m + n = 1$ D、若复数 $z$ 满足 $|z - 1| = 2$ ，则 $|z + i|$ 的最大值为 $2 + \sqrt{2}$

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10. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的有（）

A、若 $A = 45 °$ ， $a = 2 \sqrt{3}$ ， $b = 4$ ，则 $△ A B C$ 有两解 B、若 $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 C、若 $\frac{c}{\cos B} = \frac{b}{\cos C}$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 D、若 $B = 60 °$ ， $b^{2} = a c$ ，则 $△ A B C$ 为等边三角形

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11. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的数量积（又称向量的点积或内积）： $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ ，其中 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 表示向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角；定义向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的向量积（又称向量的叉积或外积）： $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \sin ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ ，其中 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 表示向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 为非零向量，且 $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a} \cdot \vec{b}|$ ，则 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{π}{4}$ B、若四边形 $A B C D$ 为平行四边形，则它的面积等于 $|\vec{A B} \times \vec{A D}|$ C、已知点 $A (2, 0)$ ， $B (- 1, \sqrt{3})$ ， $O$ 为坐标原点，则 $|\vec{O A} \times \vec{O B}| = 2 \sqrt{3}$ D、若 $|\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{\sqrt{3}}{3} \vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{3}$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ 的最小值为 $12 + 8 \sqrt{3}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 若纯虚数 $z = a^{2} - 1 + (a + 1) i$ ，则 $a$ $=$ .

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13. 已知 $\cos (\frac{π}{3} - α) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (2 α + \frac{π}{3}) =$ .

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14. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 4 \sqrt{2}$ ， $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{π}{4}$ ， $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$ ，则 $|\vec{c}|$ 的最大值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 已知锐角 $α$ 的终边经过点 $(2, 1)$ ，

(1)、求 $\cos 2 α$ ， $\sin 2 α$ ；

(2)、若 $\cos (β - α) = \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，且 $β \in (\frac{π}{2}, π)$ ，求 $α + β$ .

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16. 已知向量 $\vec{a} = (2 \cos θ, \sin θ)$ ， $\vec{b} = (1, - 2)$

(1)、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，求 $\frac{\sin θ - \cos θ}{\sin θ + \cos θ}$ 的值；

(2)、若 $θ = 45^{\circ}$ ， $2 \vec{a} - t \vec{b}$ 与 $\sqrt{2} \vec{a} + \vec{b}$ 垂直，求实数 $t$ 的值；

(3)、若 $θ = 90^{\circ}$ ，求向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标.

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17. 已知向量 $\vec{m} = (2 \sin x, 2 \cos x)$ ， $\vec{n} = (\cos x, - \sqrt{3} \cos x)$ ， $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} + \sqrt{3}$ .

(1)、若将函数 $f (x)$ 图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，再把得到的图象上所有点横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到函数 $g (x)$ ，试求 $g (x)$ 在 $[0, \frac{π}{3}]$ 上的单调递减区间；

(2)、锐角 $△ A B C$ 中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $a = \sqrt{6}$ ， $f (A) = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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18. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分.）
① $c - a \cos B = b - \sqrt{3} a \sin B$ ；② $b \sin B + c \sin C - a \sin A = - b \sin C$ .

(1)、求A；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，内角A的角平分线交边 $B C$ 于E，求 $A E$ 的最大值；

(3)、若 $a = 7$ ，边 $B C$ 上的中线 $A D = \frac{\sqrt{11}}{2}$ ，设点O为 $△ A B C$ 的外接圆圆心，求 $\vec{A O} \cdot \vec{A D}$ 的值.

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19. （1）求值： $\tan 13 ° + \tan 47 ° + \sqrt{3} \tan 13 ° \tan 47 °$ .
（2）在非直角 $△ A B C$ 中，求证： $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \cdot \tan B \cdot \tan C$ ；
（3）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基人之一，享有数学“王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界的三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，符号 $[x]$ 表示不大于x的最大整数，则 $y = [x]$ 称为“高斯函数”，例如 $[- 3.5] = - 4$ ， $[2.5] = 2$ ， $[- 3] = - 3$ .在非直角 $△ A B C$ 中，角A、B、C满足 $\tan A \cdot \tan B \cdot \tan C \leq [\tan A] + [\tan B] + [\tan C]$ ，若 $A \leq B \leq C$ ，试求 $\tan C - \tan B$ .

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